حاسبة المتتالية الحسابية
أدخل الحد الأول والأساس وعدد الحدود للحصول على الحد النوني ومجموع المتتالية الحسابية — مع عرض الصيغة وسرد الحدود.
- الحد النوني (aₙ)
- 29
- عدد الحدود (n)
- 10
الحاسبة
معاينة المتتالية
الحل التفصيلي
الحد النوني: aₙ = a₁ + (n − 1)·d = 2 + (10 − 1)·3 = 29
المجموع: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2 = 10·(2 + 29) / 2 = 155
حول هذه الحاسبة
المتتالية الحسابية (أو المتتالية العددية الحسابية) هي مجموعة من الأعداد يُضاف فيها إلى كل حد مقدار ثابت يُسمى الأساس d للحصول على الحد التالي. أدخل في هذه الحاسبة الحد الأول a₁ والأساس d وعدد الحدود n، وستحصل على الحد النوني aₙ ومجموع تلك الحدود Sₙ ومعاينة للمتتالية. تعمل مع المتتاليات التصاعدية (d موجب) والتنازلية (d سالب) والثابتة (d = 0)، سواء كانت الحدود صحيحة أو كسرية.
كيف تقرأ نتائجك
الرقم الكبير هو المجموع Sₙ — أي ناتج جمع الحدود الـ n الأولى معًا. بجانبه يظهر الحد النوني aₙ وهو قيمة الحد الأخير في تلك المجموعة. تعرض معاينة المتتالية الحدود الأولى بالترتيب حتى تتضح لك النمط دفعة واحدة؛ وعند كبر n تُقيَّد المعاينة، غير أن aₙ يبقى ظاهرًا ليدل على نهاية المتتالية. تُعوِّض لوحة الحل التفصيلي أرقامك في الصيغتين كي تتحقق من كل خطوة بنفسك.
طريقة الحساب
في المتتالية الحسابية، الحد النوني هو aₙ = a₁ + (n − 1)·d، لأنك تبدأ من a₁ وتُضيف الأساس d مجموع (n − 1) مرة للوصول إلى الموضع n. أما مجموع أول n حد — المتسلسلة الحسابية — فهو عدد الحدود مضروبًا في متوسط الحد الأول والأخير: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2. وبتعويض aₙ تحصل على الصورة المغلقة المكافئة: Sₙ = n/2·(2·a₁ + (n − 1)·d). يجب أن يكون عدد الحدود n عددًا صحيحًا موجبًا؛ أما a₁ وd فيمكن أن يكونا أي أعداد حقيقية بما فيها السالبة والكسرية.
مثال تطبيقي
الحد الأول a₁ = 2، والأساس d = 3، وعدد الحدود n = 10.
المتتالية هي 2، 5، 8، 11، 14، 17، 20، 23، 26، 29. الحد العاشر هو a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 29، ومجموع الحدود العشرة هو S₁₀ = 10·(2 + 29) / 2 = 155.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الحد النوني والمجموع؟
الحد النوني aₙ هو قيمة واحدة — الرقم الموجود في الموضع n من المتتالية — ويُحسب بالصيغة aₙ = a₁ + (n − 1)·d. أما المجموع Sₙ فيجمع كل الحدود من الأول إلى النوني: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2. في المثال a₁ = 2 وd = 3 وn = 10، الحد العاشر هو 29 بينما مجموع الحدود العشرة هو 155.
كيف أجد الأساس المشترك؟
الأساس d هو الفرق بين أي حد والحد الذي يسبقه، أي اطرح حدًا من التالي له: d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂، وهكذا. إذا لم تكن الفجوة بين الحدود المتتالية ثابتة فالمتتالية ليست حسابية. الأساس الموجب يعطي متتالية تصاعدية، والسالب متتالية تنازلية، وعند d = 0 تكون جميع الحدود متساوية وتساوي a₁.
هل يمكن أن يكون الأساس أو الحدود سالبة أو كسرية؟
نعم. يمكن أن يكون الحد الأول a₁ والأساس d أي أعداد حقيقية — سالبة أو صفرًا أو كسرية. عند a₁ = 5 وd = −2 تتناقص المتتالية: 5، 3، 1، −1، … . فقط عدد الحدود n مقيَّد: يجب أن يكون عددًا صحيحًا لا يقل عن 1، إذ لا يمكن أن يكون عدد الحدود كسرًا.
لماذا صيغة المجموع هي n·(a₁ + aₙ) / 2؟
بتزاوج الحد الأول مع الأخير، والثاني مع ما قبل الأخير، وهكذا، فإن كل زوج يعطي مجموعًا ثابتًا هو a₁ + aₙ. عدد هذه الأزواج n/2، فيكون المجموع n·(a₁ + aₙ) / 2 — الحيلة المنسوبة إلى كارل فريدريش غاوس، الذي يُقال إنه جمع الأعداد من 1 إلى 100 على شكل 50 زوجًا مجموع كل زوج 101 ليصل إلى 5050.
المصادر
تمت المراجعة بواسطة فريق YouCalc · آخر مراجعة
لاحظت مشكلة في الترجمة أو الحساب، أو لديك اقتراح؟ أخبرنا.