حاسبة مجموع المتتالية الهندسية
أدخل الحد الأول a والنسبة الأساسية r وعدد الحدود n للحصول على الحد n، والمجموع الجزئي Sₙ، ومجموع اللانهاية (عندما |r| < 1) — مع عرض خطوات الحل.
- الحد n (aₙ)
- 512
- مجموع اللانهاية
- تتشعب
الحاسبة
الحل المفصّل
الحد n: aₙ = a·rⁿ⁻¹ = 1·(2)^9 = 512
المجموع الجزئي: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) = 1·(1 − (2)^10)/(1 − 2) = 1,023
مجموع اللانهاية: إذ |r| = 2 ≥ 1 تتشعب المتتالية، لذا S∞ غير معرّفة.
حول هذه الحاسبة
تعمل هذه الحاسبة مع المتتالية الهندسية — وهي متتالية يكون كل حد فيها حاصل ضرب الحد السابق في نسبة أساسية ثابتة r، بدءاً من حد أول a. أدخل a وr وعدد الحدود n لترى فوراً الحد n (أي aₙ)، ومجموع الحدود n الأولى Sₙ، ومجموع اللانهاية S∞ عندما تتقارب المتتالية.
كيف تقرأ نتائجك
تعرض بطاقة النتائج المجموع الجزئي Sₙ للحدود n الأولى في الأعلى، ثم الحد n الأخير aₙ = a·rⁿ⁻¹ ومجموع اللانهاية. مجموع اللانهاية يكون عدداً منتهياً فقط عندما |r| < 1، لأن ذلك هو شرط تقلص الحدود نحو الصفر بشكل كافٍ؛ أما إذا كانت |r| ≥ 1 فتتشعب المتتالية وتوضح الحاسبة ذلك بدلاً من طباعة قيمة مضللة. يستبدل الحل المفصّل أدناه قيمك في كل صيغة حتى تتابع كل خطوة.
طريقة الحساب
يُحسب الحد n بالصيغة المغلقة aₙ = a·rⁿ⁻¹. يستخدم المجموع الجزئي Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) لـ r ≠ 1، وينتقل إلى Sₙ = n·a عندما r = 1 تفادياً للقسمة على صفر. مجموع اللانهاية S∞ = a/(1 − r) يُعلن فقط عندما |r| < 1، وهو شرط التقارب القياسي للمتتالية الهندسية؛ وإلا أفادت الحاسبة بأن المتتالية تتشعب بدلاً من طباعة قيمة. هذه الصيغ وقاعدة التقارب موثقة في ويكيبيديا وMathWorld.
مثال تطبيقي
أدخل a = 1، r = 2، n = 10 (المتتالية 1 + 2 + 4 + … + 512).
الحد n هو a₁₀ = 1·2⁹ = 512 والمجموع الجزئي S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023. بما أن |r| = 2 ≥ 1 تتشعب المتتالية ولا يوجد مجموع لانهاية. غيّر إلى r = 0.5 ليصبح مجموع اللانهاية a/(1 − r) = 1/0.5 = 2.
الأسئلة الشائعة
متى تمتلك المتتالية الهندسية مجموعاً لانهائياً؟
تتقارب المتتالية الهندسية إلى مجموع لانهائي منتهٍ فقط عندما تحقق النسبة الأساسية |r| < 1. في هذه الحالة S∞ = a/(1 − r). عندما |r| ≥ 1 — بما في ذلك r = 1 وr = −1 — لا تتقلص الحدود نحو الصفر، وتستمر المجاميع الجزئية في النمو أو التذبذب، ولا يوجد مجموع منتهٍ، وتُسمى المتتالية متشعبة.
ما الفرق بين الحد n والمجموع الجزئي؟
الحد n هو aₙ = a·rⁿ⁻¹، أي قيمة حد واحد — الإدخال n في المتتالية. أما المجموع الجزئي Sₙ فهو جمع الحدود n الأولى معاً: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) لـ r ≠ 1، أو n·a عندما r = 1. إذن aₙ هو عدد واحد من القائمة، بينما Sₙ هو المجموع التراكمي حتى تلك النقطة.
هل يمكن أن يكون الحد الأول أو النسبة الأساسية سلبيين؟
نعم. يمكن أن يكون الحد الأول a والنسبة الأساسية r أي أعداد منتهية، بما فيها السالبة والكسرية. النسبة السالبة تجعل الحدود تتناوب في الإشارة (مثلاً 1، −2، 4، −8…). الصيغ المغلقة تتعامل مع جميع الحالات؛ الشرط الوحيد لمجموع لانهائي منتهٍ هو |r| < 1.
لماذا تتغير الصيغة عندما r = 1؟
الصيغة العامة للمجموع الجزئي Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) تقسم على (1 − r)، وهو صفر عندما r = 1. في هذه الحالة كل حد يساوي a، فيصبح المجموع ببساطة n نسخة من a: Sₙ = n·a. تكتشف الحاسبة r = 1 وتستخدم هذه الحالة الخاصة تلقائياً.
المصادر
تمت المراجعة بواسطة فريق YouCalc · آخر مراجعة
لاحظت مشكلة في الترجمة أو الحساب، أو لديك اقتراح؟ أخبرنا.