حاسبة النمو والاضمحلال الأسي

حول هذه الحاسبة

تًحاكي هذه الحاسبة النمو والاضمحلال الأسي باستخدام إما الصيغة المتقطعة N₀·(1 + r)^t أو الصيغة المستمرة N₀·e^{kt}. استخدمها لتوقʼع نمو السكان، أو الاضمحلال الإشعاعي، أو عوائد مركʼبة، أو انتشار وباء، أو أي كمية تتضاعف بمقدار ثابت في كل فترة.

كيف تقرأ نتائجك

الرقم الرئيسي هو القيمة المحسوبة عند الزمن الذي أدخلته. تحته تًعرض بطاقة النتيجة مع المضاعف لكل فترة (القاعدة)، وزمن التضاعف عند النمو أو عمر النصف عند الاضمحلال، والتغيير الصافي من الكمية الأولية. يرسم الرسم البياني الخطي المنحنى من t = 0 حتى الزمن الذي اخترته، لترى مدى حدʼة التسارع أو التناقص.

طريقة الحساب

في النموذج المتقطع القيمة عند الزمن t هي N(t) = N₀·(1 + r)^t، حيث N₀ الكمية الأولية و r معدل الفترة. في النموذج المستمر هي N(t) = N₀·e^{kt}، حيث k ثابت النمو المستمر. كلاهما يًختزل في الصيغة الموحʼدة N₀·b^t بقاعدة b = (1 + r) أو b = e^k. يًستنتج زمن التضاعف وعمر النصف من الشرط b^T = 2 (أو ½)، مما يعطي T = ln(2) / ln(b).

مثال تطبيقي

ابدأ بـ 500 وطبʼق معدل نمو متقطع بنسبة 8% لكل فترة على مدى 12 فترة.

القيمة النهائية نحو 1,259 — بمضاعف أساسي قدره 1.08 لكل فترة، وزمن تضاعف يبلغ نحو 9 فترات. تضاعفت الكمية من 500 أكثر من مرة في 12 خطوة فحسب.

الأسئلة الشائعة

متى يجب استخدام النموذج المستمر بدلًا من المتقطع؟

استخدم النموذج المستمر حين يحدث النمو أو الاضمحلال دون انقطاع — كالاضمحلال الإشعاعي، أو نمو البكتيريا في ظروف مثالية، أو العوائد المالية المركʼبة باستمرار. استخدم النموذج المتقطع حين يحدث التغيير في خطوات منفصلة، كالتعداد السنوي للسكان أو العوائد الدورية.

ما هو زمن التضاعف وكيف يًحسب؟

زمن التضاعف هو عدد الفترات اللازمة لمضاعفة الكمية. في النموذج المتقطع يساوي ln(2) / ln(1 + r)، وفي المستمر يساوي ln(2) / k. كلما ارتفع معدل النمو قصًr زمن التضاعف — عند 10% لكل فترة تتضاعف الكمية في نحو 7.3 فترة.

هل يمكن استخدام الحاسبة للاضمحلال، وما هو عمر النصف؟

نعم. أدخل معدلًا سالبًa في أي نموذج فتتحوʼل الحاسبة إلى وضع الاضمحلال. عمر النصف هو الزمن اللازم لتنصʼف الكمية. يًحسب كزمن التضاعف لكن بالقيمة المطلقة للمعدل: ln(2) / |k| للنموذج المستمر، أو ln(2) / |ln(قاعدة)| للمتقطع.

المصادر

• dlmf.nist.gov/4.2
• openstax.org/books/precalculus-2e/pages/6-7-exponential-and-logarithmic-models
• www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:exponential-growth-decay

تمت المراجعة بواسطة فريق YouCalc · آخر مراجعة 11 يونيو 2026