Введите любые три элемента — стороны и углы — и решите треугольник полностью с помощью теорем синусов и косинусов. Получите каждую сторону и угол, площадь, периметр и оба радиуса, с чертёжом.
Площадь
6
Периметр
12
Калькулятор
Стороны
a=3, b=4, c=5
Углы
A=36,87°, B=53,13°, C=90°
Площадь
6
Периметр
12
Радиус описанной окружности (R)
2,5
Радиус вписанной окружности (r)
1
Как решается треугольник
Треугольник полностью определяется тремя элементами, если хотя бы один из них является стороной. Теорема косинусов (c² = a² + b² − 2ab·cosC) применяется для трёх сторон (SSS) или двух сторон и угла между ними (SAS); теорема синусов (a/sinA = b/sinB = c/sinC) — для двух углов и стороны (ASA/AAS).
Случай SSA — две стороны и угол, не заключённый между ними — может быть неоднозначным: ему могут удовлетворять ноль, один или два треугольника. Решатель проверяет каждый кандидат и возвращает все допустимые треугольники. Площадь вычисляется по формуле Герона, радиус описанной окружности — из R = abc/4·площадь, вписанной — из r = площадь/s.
Почему иногда получается два треугольника?
Когда заданы две стороны и угол, противолежащий одной из них (случай SSA), неизвестный угол имеет два возможных значения, при каждом из которых треугольник замыкается. Это классический неоднозначный случай, и оба решения отображаются.
Что считается допустимым набором входных данных?
Ровно три из шести элементов (три стороны и три угла), причём хотя бы одна сторона. Три угла без стороны определяют лишь форму, но не размер, поэтому сторона всегда обязательна.
Углы задаются в градусах или радианах?
Углы вводятся и отображаются в градусах. Сумма трёх внутренних углов всегда равна 180°.
Результаты являются оценочными. Для важных решений проконсультируйтесь со специалистом.
Об этом калькуляторе
Этот калькулятор решает любой треугольник, когда вы вводите ровно три известных элемента — стороны и углы в любой комбинации (SSS, SAS, ASA, AAS или неоднозначный случай SSA). Введите то, что известно, и инструмент вычислит все шесть элементов, а также площадь, периметр, радиус описанной и вписанной окружностей.
Как читать результаты
После ввода трёх известных значений справа появляется карточка с результатом. В ней отображается чертёж треугольника в масштабе с вершинами A, B, C, а затем список данных: все три стороны, все три угла в градусах, площадь, периметр, радиусы описанной и вписанной окружностей. Если данные SSA неоднозначны и дают два допустимых треугольника, оба показываются в отдельных карточках.
Пример расчёта
Введите три стороны прямоугольного треугольника: a = 3, b = 4, c = 5.
Решатель возвращает угол A примерно 36,87°, угол B примерно 53,13° и угол C ровно 90°. Площадь = 6, периметр = 12, радиус описанной окружности = 2,5, радиус вписанной окружности = 1.
Частые вопросы
Что такое неоднозначный случай SSA?
Когда известны две стороны и угол, противолежащий одной из них (SSA), данные могут соответствовать нулю, одному или двум различным треугольникам. Калькулятор проверяет все возможности и возвращает каждое допустимое решение, так что вы сразу видите, является ли задача неоднозначной.
Углы вводятся в градусах или радианах?
Все углы вводятся и отображаются в градусах. Внутренние вычисления по теоремам синусов и косинусов выполняют перевод в радианы автоматически, так что вам это делать не нужно.
Насколько точны результаты?
Калькулятор использует арифметику двойной точности JavaScript, которая даёт около 15 значимых цифр. Результаты отображаются с тремя знаками после запятой — этого более чем достаточно для геометрических построений, черчения или учебных задач.
Как выполняется расчёт
Для SSS углы находятся по теореме косинусов: A = arccos((b^2 + c^2 - a^2) / 2bc), затем третий угол вычитанием. Для SAS неизвестная сторона находится из c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C, а углы — из теоремы косинусов. Для ASA/AAS третий угол равен 180° минус сумма двух известных углов, затем стороны находятся через пропорцию теоремы синусов a/sin A = b/sin B = c/sin C. Для SSA теорема синусов даёт угол-кандидат (или углы) для второй известной стороны, затем проверяется, что третий угол положителен. Площадь вычисляется по формуле Герона sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), где s — полупериметр. Радиус описанной окружности = abc / (4 * площадь); радиус вписанной окружности = площадь / s.
Заметили неточность в переводе или расчёте, или есть предложение? Напишите нам.