Любое квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 (при a ≠ 0) решается по формуле x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Выражение под корнем, D = b² − 4ac, называется дискриминантом: при D > 0 два различных вещественных корня, при D = 0 один кратный корень, при D < 0 — пара комплексно-сопряжённых корней.
График уравнения — парабола. Её вершина находится при x = −b/2a, это же ось симметрии, а свободный член c — точка пересечения с осью y. Вещественные корни — это в точности точки, где парабола пересекает ось x.
Что показывает дискриминант?
Дискриминант D = b² − 4ac определяет характер корней без полного решения: положительный — два различных вещественных корня, нуль — один кратный корень, отрицательный — два комплексных корня.
Работает ли с комплексными корнями?
Да. Если дискриминант отрицательный, калькулятор выдаёт корни в форме p ± qi, где p = −b/2a и q = √(−D)/2a.
Почему a не может быть равно нулю?
При a = 0 слагаемое x² исчезает, уравнение становится линейным, а не квадратным, и формула дискриминанта неприменима. Для этого случая используйте калькулятор прямой или углового коэффициента.
Результаты являются оценочными. Для важных решений проконсультируйтесь со специалистом.
Об этом калькуляторе
Этот калькулятор решает любое квадратное уравнение вида ax²+bx+c=0, находя вещественные или комплексные корни по формуле дискриминанта. Введите три коэффициента и мгновенно получите корни, дискриминант, вершину, ось симметрии и построенную параболу.
Как читать результаты
Карточка результата отображает корни вверху — либо два различных вещественных значения, либо один кратный корень, либо пару комплексно-сопряжённых чисел. Ниже корней указаны дискриминант (определяющий тип корней), координаты вершины, ось симметрии и точка пересечения с осью y. Небольшой график параболы строит кривую, отмечая вещественные точки пересечения с осью x заполненными точками, а вершину — полым кружком. Пошаговая разбивка ниже показывает каждый этап квадратной формулы.
Пример расчёта
Введите a = 1, b = −5, c = 6 (решение x² − 5x + 6 = 0).
Дискриминант равен 1 (положительный), значит есть два различных вещественных корня: x₁ = 3 и x₂ = 2. Вершина находится в точке (2,5; −0,25), ось симметрии — x = 2,5. Парабола пересекает ось x в обоих корнях.
Частые вопросы
Что говорит мне дискриминант?
Дискриминант D = b²−4ac определяет, сколько вещественных корней имеет уравнение. Если D положительный, парабола пересекает ось x в двух точках; если D равен нулю — касается её в одном кратном корне; если D отрицательный — корни комплексные и парабола не пересекает ось x.
Что такое комплексные корни и когда они появляются?
Комплексные корни появляются, когда дискриминант отрицательный. Они образуют сопряжённые пары вида p ± qi, где i — мнимая единица. Хотя они не видны как пересечения на вещественной оси, они являются допустимыми решениями уравнения.
Можно ли использовать калькулятор, когда a не равно 1?
Да. Введите любое ненулевое значение для a. Калькулятор применяет полную квадратную формулу x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a), поэтому коэффициенты вроде 2, −3 или 0,5 работают так же хорошо.
Как выполняется расчёт
Корни находятся по квадратной формуле x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a), задокументированной на Wolfram MathWorld и Khan Academy. Сначала вычисляется дискриминант D = b²−4ac; его знак определяет, является ли квадратный корень вещественным или мнимым. Вершина параболы — (−b/2a, f(−b/2a)), ось симметрии — x = −b/2a. Точка пересечения с осью y всегда равна c, а вещественные пересечения с осью x указываются только при D ≥ 0.
Заметили неточность в переводе или расчёте, или есть предложение? Напишите нам.