Введите линейную систему 2×2 или 3×3 и решите её по правилу Крамера. Получите единственное решение — или узнайте, что система несовместна или имеет бесконечно много решений — с определителем и графиком.
Определитель
-2
Тип
Единственное решение
Калькулятор
Решение
x = 3, y = 2
Прямые/плоскости пересекаются в одной точке.
Определитель
-2
Тип
Единственное решение
Правило Крамера
D = -2
x = Dx / D = -6 / -2 = 3
y = Dy / D = -4 / -2 = 2
График
Как решается система
Каждое уравнение записывается в виде a₁x + b₁y (+ c₁z) = d. Правило Крамера использует определитель D матрицы коэффициентов: каждая переменная равна определителю матрицы, в которой столбец этой переменной заменён столбцом свободных членов, делённому на D. Ненулевой D гарантирует единственное решение.
При D = 0 система вырожденная. Если уравнения совместны, они описывают одну и ту же прямую или плоскость и имеют бесконечно много решений; если противоречат друг другу — решений нет. Калькулятор выбирает между этими случаями, сравнивая ранг матрицы коэффициентов с рангом расширенной матрицы.
Что говорит мне определитель?
Ненулевой определитель означает, что система имеет ровно одно решение. Нулевой определитель означает, что прямые или плоскости параллельны или совпадают, то есть решений либо нет, либо бесконечно много.
Можно ли решать системы 3×3?
Да. Переключитесь на 3 переменные, чтобы ввести систему 3×3; она решается по правилу Крамера с определителями 3×3. Режим 2 переменных также строит обе прямые, чтобы вы могли увидеть точку пересечения.
Почему иногда бывает бесконечно много решений?
Если одно уравнение является кратным другого (или линейной комбинацией остальных), оно не добавляет новой информации. Уравнения тогда описывают одну и ту же прямую или плоскость, и любая точка на ней является решением.
Результаты являются оценочными. Для важных решений проконсультируйтесь со специалистом.
Об этом калькуляторе
Этот калькулятор решает систему из 2 или 3 линейных уравнений с 2 или 3 неизвестными и определяет, имеет ли она единственное решение, не имеет решений или имеет бесконечно много. Используйте его для проверки домашних заданий, верификации ручных вычислений или изучения того, как изменение коэффициента смещает точку пересечения прямых или плоскостей.
Как читать результаты
Карточка результата отображает либо точное решение (x, y и при необходимости z), либо тип системы — единственное, нет решений или бесконечно много. Ниже карточки пошаговый разбор показывает определитель матрицы коэффициентов и то, как каждая переменная вычисляется по правилу Крамера. Для систем 2×2 график в координатной плоскости строит обе прямые, позволяя увидеть точку их пересечения.
Пример расчёта
Введите систему 2×2: уравнение 1 — x + y = 5, уравнение 2 — x - y = 1 (коэффициенты 1, 1, 5 и 1, -1, 1).
Определитель матрицы коэффициентов равен -2. По правилу Крамера: x = -6 / -2 = 3, y = -4 / -2 = 2, то есть единственное решение — x = 3, y = 2. График показывает, что обе прямые пересекаются в точке (3, 2).
Частые вопросы
Что означает нулевой определитель?
Нулевой определитель означает, что уравнения не являются независимыми. Калькулятор проверяет расширенную матрицу: если её ранг совпадает с рангом матрицы коэффициентов, прямые (или плоскости) совпадают и решений бесконечно много; если ранги различаются — система несовместна и решений нет.
Что такое правило Крамера и когда оно применяется?
Правило Крамера выражает каждую переменную как отношение двух определителей: в числителе столбец этой переменной в матрице коэффициентов заменяется столбцом свободных членов, в знаменателе — определитель матрицы коэффициентов. Правило применяется только тогда, когда этот определитель не равен нулю, то есть когда система имеет ровно одно решение.
Можно ли решать систему с дробными или десятичными коэффициентами?
Да. Каждая ячейка коэффициента принимает любое конечное десятичное число. Решатель работает в арифметике с плавающей точкой двойной точности с небольшим допуском для близких к нулю ведущих элементов, что обеспечивает точные результаты для типичных учебных задач и хорошо обусловленных инженерных систем.
Как выполняется расчёт
Решатель извлекает матрицу коэффициентов n×n A и вектор констант b из введённых строк. Он вычисляет det(A) разложением по алгебраическим дополнениям (числители Крамера получаются последовательной заменой каждого столбца A на b). Тип системы определяется сравнением ранга A с рангом расширенной матрицы [A|b] методом гауссова исключения с частичным выбором ведущего элемента: ранг(A) = ранг([A|b]) = n — единственное решение; ранг(A) = ранг([A|b]) < n — бесконечно много решений; ранг(A) < ранг([A|b]) — несовместная система. Источники: Wolfram MathWorld; Khan Academy.
Заметили неточность в переводе или расчёте, или есть предложение? Напишите нам.