Складывайте, вычитайте, умножайте на число, перемножайте и транспонируйте матрицы до 3×3, а также находите определитель и обратную матрицу — результат отображается в виде сетки с цветовой шкалой по величине элементов.
Операция
A + B
Результат
матрица
Калькулятор
Результат
A + B
Результат операции A + B.
Тепловая карта результата
6
8
10
12
Как работают операции с матрицами
Сложение, вычитание и умножение на скаляр выполняются поэлементно. При перемножении матриц берётся скалярное произведение каждой строки A на каждый столбец B, поэтому число столбцов A должно равняться числу строк B. Транспонирование отражает матрицу относительно главной диагонали.
Определитель вычисляется разложением по алгебраическим дополнениям и показывает, является ли квадратная матрица обратимой — он должен быть ненулевым. Обратная матрица — это присоединённая матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений), делённая на определитель; умножение матрицы на обратную даёт единичную матрицу.
Почему я не могу перемножить эти две матрицы?
Произведение матриц определено только когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Матрицу 2×2 можно умножить на 2×3, но нельзя умножить на 1×3.
Что означает нулевой определитель?
Квадратная матрица с нулевым определителем является вырожденной: она не имеет обратной, а линейная система, которую она задаёт, либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много. В таком случае калькулятор показывает ошибку вместо обратной матрицы.
До 3×3. Этого достаточно для определителей и обратных матриц, изучаемых в большинстве курсов алгебры и введения в линейную алгебру, где метод алгебраических дополнений рассматривается пошагово.
Результаты являются оценочными. Для важных решений проконсультируйтесь со специалистом.
Об этом калькуляторе
Этот калькулятор выполняет наиболее распространённые операции с матрицами размером до 3×3: сложение, вычитание, умножение на скаляр, перемножение матриц, транспонирование, вычисление определителя и обратной матрицы. Введите значения, выберите операцию — результат появится мгновенно вместе с тепловой картой, отражающей относительную величину каждого элемента.
Как читать результаты
Для скалярных операций, например вычисления определителя, главное число и является результатом. Для матричных операций карточка результата указывает выполненную операцию, а сетка тепловой карты под ней показывает итоговую матрицу — каждая ячейка закрашена пропорционально абсолютной величине своего элемента относительно наибольшего, что позволяет с первого взгляда выявить доминирующие значения. Информационная полоса вверху страницы подтверждает текущую операцию и тип результата: скаляр или матрица.
Пример расчёта
Установите обе матрицы 2×2, выберите Умножение и используйте A = [[1, 2], [3, 4]] и B = [[5, 6], [7, 8]].
Произведение A × B равно [[19, 22], [43, 50]]. Элемент (1,1) = 1×5 + 2×7 = 19; элемент (1,2) = 1×6 + 2×8 = 22; и так далее — тепловая карта выделяет 50 как самую тёмную ячейку, поскольку это наибольшее значение в результате.
Частые вопросы
Когда перемножение матриц определено?
Произведение A × B определено только тогда, когда число столбцов A равно числу строк B. Для двух квадратных матриц одного размера это условие всегда выполнено, однако A × B и B × A как правило дают разные результаты — умножение матриц не коммутативно.
Что говорит нам определитель?
Определитель — это единственное число, характеризующее квадратную матрицу. Ненулевой определитель означает, что матрица имеет единственную обратную и соответствующая система уравнений имеет ровно одно решение. Нулевой определитель означает, что матрица вырожденная — её строки линейно зависимы и обратной матрицы не существует.
Как вычисляется обратная матрица?
Калькулятор использует метод присоединённой матрицы: формирует матрицу алгебраических дополнений, транспонирует её для получения присоединённой матрицы, затем делит каждый элемент на определитель. Для матрицы 2×2 [[a,b],[c,d]] это даёт [[d,−b],[−c,a]], делённое на (ad − bc). Если определитель равен нулю, отображается сообщение об ошибке.
Как выполняется расчёт
Сложение и вычитание выполняются поэлементно. Умножение на скаляр умножает каждый элемент на константу k. Перемножение матриц следует правилу скалярного произведения: элемент (i, j) результата равен скалярному произведению i-й строки A и j-го столбца B. Транспонирование отражает матрицу относительно главной диагонали, меняя строки и столбцы местами. Определитель вычисляется разложением по алгебраическим дополнениям вдоль первой строки (Wolfram MathWorld: Determinant). Обратная матрица получается делением присоединённой матрицы на определитель (Wolfram MathWorld: Matrix Inverse); вырожденная матрица с нулевым определителем обратной не имеет.
Заметили неточность в переводе или расчёте, или есть предложение? Напишите нам.