Digite um sistema linear 2×2 ou 3×3 e resolva-o pela regra de Cramer. Obtenha a solução única — ou descubra se o sistema não tem solução ou tem infinitas — com o determinante e um gráfico.
Determinante
-2
Tipo
Solução única
Calculadora
Solução
x = 3, y = 2
As retas/planos se encontram em um único ponto.
Determinante
-2
Tipo
Solução única
Regra de Cramer
D = -2
x = Dx / D = -6 / -2 = 3
y = Dy / D = -4 / -2 = 2
Gráfico
Como o sistema é resolvido
Cada equação é escrita como a₁x + b₁y (+ c₁z) = d. A regra de Cramer usa o determinante D da matriz de coeficientes: cada variável é igual ao determinante da matriz com a coluna dessa variável substituída pelas constantes, dividido por D. Um D não nulo garante exatamente uma solução.
Quando D = 0, o sistema é degenerado. Se as equações são compatíveis, elas descrevem a mesma reta ou plano e há infinitas soluções; se se contradizem, não há solução. A calculadora decide entre esses casos comparando o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada.
O que o determinante me diz?
Um determinante não nulo significa que o sistema tem exatamente uma solução. Um determinante nulo significa que as retas ou planos são paralelos ou coincidentes, portanto não há solução ou há infinitas.
Ele resolve sistemas 3×3?
Sim. Mude para 3 variáveis para digitar um sistema 3×3; ele é resolvido pela regra de Cramer com determinantes 3×3. O modo de 2 variáveis também desenha as duas retas para que você veja a interseção.
Por que às vezes há infinitas soluções?
Se uma equação é múltipla de outra (ou combinação das demais), ela não acrescenta nenhuma informação nova. As equações então descrevem a mesma reta ou plano, e todo ponto sobre ela é uma solução.
Os resultados são estimativas. Confirme com um profissional para decisões importantes.
Sobre esta calculadora
Esta calculadora resolve um sistema de equações lineares 2x2 ou 3x3 e indica se ele tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Use-a para verificar exercícios, conferir cálculos feitos à mão ou explorar como a mudança de um coeficiente altera a interseção de retas ou planos.
Como ler seus resultados
O cartão de resultado exibe a solução exata (x, y e opcionalmente z) ou a classificação do sistema — única, nenhuma ou infinita. Abaixo do cartão, o resumo passo a passo apresenta o determinante da matriz de coeficientes e como cada variável é obtida pela regra de Cramer. Para sistemas 2x2, um gráfico no plano cartesiano traça as duas retas para que você visualize a interseção de imediato.
Exemplo prático
Insira o sistema 2x2: equação 1 — x + y = 5, equação 2 — x - y = 1 (coeficientes 1, 1, 5 e 1, -1, 1).
O determinante da matriz de coeficientes é -2. A regra de Cramer fornece x = -6 / -2 = 3 e y = -4 / -2 = 2, portanto a solução única é x = 3, y = 2. O gráfico mostra as duas retas se cruzando em (3, 2).
Perguntas frequentes
O que significa o determinante ser zero?
Um determinante nulo indica que as equações não são independentes. A calculadora verifica então a matriz aumentada: se o seu posto coincide com o da matriz de coeficientes, as retas (ou planos) são coincidentes e há infinitas soluções; se os postos diferem, o sistema é incompatível e não tem solução.
O que é a regra de Cramer e quando ela se aplica?
A regra de Cramer expressa cada variável como uma razão de determinantes — o numerador substitui a coluna da variável na matriz de coeficientes pelos termos independentes, e o denominador é o determinante da matriz de coeficientes. Ela se aplica apenas quando esse determinante é não nulo, ou seja, quando o sistema tem exatamente uma solução.
Posso resolver um sistema com coeficientes decimais ou fracionários?
Sim. Cada célula de coeficiente aceita qualquer número decimal finito. O solucionador trabalha em aritmética de ponto flutuante de dupla precisão com uma pequena tolerância para pivôs próximos de zero, produzindo resultados precisos para exercícios comuns e sistemas de engenharia bem condicionados.
Como é calculado
O solucionador extrai a matriz de coeficientes n x n A e o vetor de constantes b das linhas de entrada. Ele calcula det(A) por expansão de cofatores (os numeradores de Cramer são obtidos substituindo cada coluna de A por b). A classificação é determinada comparando o posto de A com o da matriz aumentada [A|b] por eliminação gaussiana com pivotamento parcial: posto(A) = posto([A|b]) = n implica solução única; posto(A) = posto([A|b]) < n implica infinitas soluções; posto(A) < posto([A|b]) implica sistema incompatível. Fontes: Wolfram MathWorld; Khan Academy.
Notou algo na tradução, no cálculo, ou quer fazer uma sugestão? Conte para a gente.