Masukkan sistem linear 2×2 atau 3×3 dan selesaikan dengan aturan Cramer. Dapatkan solusi tunggal — atau cari tahu apakah sistem tidak memiliki solusi atau memiliki tak hingga solusi — lengkap dengan determinan dan grafik.
Determinan
-2
Jenis
Solusi tunggal
Kalkulator
Solusi
x = 3, y = 2
Garis/bidang bertemu di satu titik.
Determinan
-2
Jenis
Solusi tunggal
Aturan Cramer
D = -2
x = Dx / D = -6 / -2 = 3
y = Dy / D = -4 / -2 = 2
Grafik
Cara sistem diselesaikan
Setiap persamaan ditulis sebagai a₁x + b₁y (+ c₁z) = d. Aturan Cramer menggunakan determinan D dari matriks koefisien: setiap variabel sama dengan determinan matriks dengan kolom variabel tersebut diganti oleh konstanta, dibagi D. Nilai D yang tidak nol memastikan tepat satu solusi.
Ketika D = 0, sistemnya bersifat degeneratif. Jika persamaan-persamaannya konsisten, keduanya menggambarkan garis atau bidang yang sama sehingga terdapat tak hingga solusi; jika bertentangan satu sama lain maka tidak ada solusi. Kalkulator menentukan di antara keduanya dengan membandingkan peringkat matriks koefisien dengan peringkat matriks augmented.
Apa yang diberitahu determinan kepada saya?
Determinan yang tidak nol berarti sistem memiliki tepat satu solusi. Determinan nol berarti garis atau bidangnya sejajar atau berimpit, sehingga tidak ada solusi atau terdapat tak hingga solusi.
Bisakah menyelesaikan sistem 3×3?
Bisa. Ganti ke 3 variabel untuk memasukkan sistem 3×3; diselesaikan dengan aturan Cramer menggunakan determinan 3×3. Mode 2 variabel juga menggambar kedua garis agar Anda dapat melihat titik perpotongannya.
Mengapa kadang ada tak hingga solusi?
Jika satu persamaan merupakan kelipatan persamaan lain (atau kombinasi dari persamaan-persamaan lainnya), ia tidak menambahkan informasi baru. Persamaan-persamaan tersebut lalu menggambarkan garis atau bidang yang sama, dan setiap titik di atasnya adalah solusi.
Hasil adalah estimasi. Verifikasikan dengan profesional untuk keputusan penting.
Tentang kalkulator ini
Kalkulator ini menyelesaikan sistem persamaan linear 2x2 atau 3x3 dan memberi tahu Anda apakah sistemnya memiliki satu solusi unik, tidak ada solusi, atau tak hingga solusi. Gunakan untuk memeriksa pekerjaan rumah, memverifikasi penyelesaian manual, atau mengeksplorasi bagaimana perubahan koefisien menggeser titik perpotongan garis atau bidang.
Cara membaca hasil Anda
Kartu hasil menampilkan solusi eksak (x, y, dan opsional z) atau klasifikasi sistem — unik, tidak ada, atau tak hingga. Di bawah kartu, rincian langkah demi langkah menampilkan determinan matriks koefisien dan cara setiap variabel diperoleh melalui aturan Cramer. Untuk sistem 2x2, grafik di bidang koordinat memplot kedua garis sehingga Anda dapat melihat titik perpotongannya sekilas.
Contoh perhitungan
Masukkan sistem 2x2: persamaan 1 — x + y = 5, persamaan 2 — x - y = 1 (koefisien 1, 1, 5 dan 1, -1, 1).
Determinan matriks koefisien adalah -2. Aturan Cramer menghasilkan x = -6 / -2 = 3 dan y = -4 / -2 = 2, sehingga solusi uniknya adalah x = 3, y = 2. Grafik menunjukkan kedua garis berpotongan di (3, 2).
Pertanyaan umum
Apa artinya determinan bernilai nol?
Determinan nol berarti persamaan-persamaannya tidak bebas satu sama lain. Kalkulator kemudian memeriksa matriks augmented: jika peringkatnya sama dengan peringkat matriks koefisien, garis (atau bidang) tersebut berimpit dan terdapat tak hingga solusi; jika peringkatnya berbeda, sistemnya tidak konsisten dan tidak memiliki solusi.
Apa itu aturan Cramer dan kapan berlaku?
Aturan Cramer menyatakan setiap variabel sebagai rasio dua determinan — pembilangnya menggantikan kolom variabel dalam matriks koefisien dengan suku konstan, sedangkan penyebutnya adalah determinan matriks koefisien. Aturan ini hanya berlaku ketika determinan tersebut tidak nol, yaitu saat sistem memiliki tepat satu solusi.
Bisakah saya menyelesaikan sistem dengan koefisien desimal atau pecahan?
Ya. Setiap sel koefisien menerima sembarang bilangan desimal berhingga. Penyelesai bekerja dalam aritmetika titik-mengambang presisi ganda dengan toleransi kecil untuk pivot yang mendekati nol, sehingga hasilnya akurat untuk soal-soal latihan umum dan sistem rekayasa yang terkondisi dengan baik.
Cara penghitungan
Penyelesai mengekstrak matriks koefisien n x n A dan vektor konstanta b dari baris yang dimasukkan. Ia menghitung det(A) dengan ekspansi kofaktor (numerator Cramer diperoleh dengan menggantikan setiap kolom A secara berurutan dengan b). Klasifikasi sistem ditentukan dengan membandingkan peringkat A dan peringkat matriks augmented [A|b] melalui eliminasi Gaussian dengan pemilihan pivot sebagian: rank(A) = rank([A|b]) = n berarti solusi unik; rank(A) = rank([A|b]) < n berarti tak hingga solusi; rank(A) < rank([A|b]) berarti sistem tidak konsisten. Sumber: Wolfram MathWorld; Khan Academy.
Menemukan kendala terjemahan, kendala perhitungan, atau punya saran? Beritahu kami.