Kalkulator Jumlah Deret Geometri

Tentang kalkulator ini

Kalkulator ini bekerja dengan deret geometri — barisan di mana setiap suku adalah suku sebelumnya dikalikan dengan rasio umum tetap r, dimulai dari suku pertama a. Masukkan a, r dan jumlah suku n untuk langsung melihat suku ke-n aₙ, jumlah parsial n suku pertama Sₙ, dan jumlah tak hingga S∞ ketika deret konvergen.

Cara membaca hasil Anda

Kartu hasil menampilkan jumlah parsial Sₙ dari n suku pertama di bagian atas. Di bawahnya terdapat suku ke-n (terakhir) aₙ = a·rⁿ⁻¹ dan jumlah tak hingga. Jumlah tak hingga adalah bilangan berhingga hanya ketika |r| < 1, karena itulah kondisi agar suku-suku mengecil menuju nol cukup cepat sehingga total menjadi stabil; jika |r| ≥ 1 deret divergen dan kalkulator memberitahukan hal itu daripada mencetak angka yang menyesatkan. Solusi langkah demi langkah di bawah mensubstitusikan nilai Anda ke setiap rumus tertutup agar Anda bisa mengikuti setiap langkah.

Cara penghitungan

Suku ke-n dihitung dengan bentuk tertutup aₙ = a·rⁿ⁻¹. Jumlah parsial menggunakan Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) untuk r ≠ 1, berpindah ke Sₙ = n·a ketika r = 1 untuk menghindari pembagian dengan nol. Jumlah tak hingga adalah S∞ = a/(1 − r) dan hanya dilaporkan ketika |r| < 1, kondisi konvergensi standar untuk deret geometri; jika tidak, kalkulator menyatakan bahwa deret divergen daripada mencetak nilai. Rumus-rumus ini dan aturan konvergensi didokumentasikan oleh Wolfram MathWorld dan Wikipedia.

Contoh perhitungan

Masukkan a = 1, r = 2, n = 10 (deret 1 + 2 + 4 + … + 512).

Suku ke-n adalah a₁₀ = 1·2⁹ = 512 dan jumlah parsialnya adalah S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023. Karena |r| = 2 ≥ 1, deret divergen sehingga tidak ada jumlah tak hingga. Ganti ke r = 0,5 dan jumlah tak hingga menjadi a/(1 − r) = 1/0,5 = 2.

Pertanyaan yang sering diajukan

Kapan deret geometri memiliki jumlah tak hingga?

Deret geometri konvergen ke jumlah tak hingga yang berhingga hanya ketika rasio umum memenuhi |r| < 1. Dalam hal itu S∞ = a/(1 − r). Ketika |r| ≥ 1 — termasuk r = 1 dan r = −1 — suku-suku tidak mengecil menuju nol, jumlah parsial terus tumbuh atau berosilasi, dan tidak ada total yang berhingga; deret dikatakan divergen.

Apa perbedaan antara suku ke-n dan jumlah parsial?

Suku ke-n aₙ = a·rⁿ⁻¹ adalah nilai satu suku — entri ke-n dalam barisan. Jumlah parsial Sₙ menjumlahkan n suku pertama bersama-sama: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) untuk r ≠ 1, atau cukup n·a ketika r = 1. Jadi aₙ adalah satu angka dari daftar, sedangkan Sₙ adalah total kumulatif hingga titik tersebut.

Bisakah suku pertama atau rasio umum bernilai negatif?

Ya. Suku pertama a dan rasio umum r bisa berupa bilangan berhingga apa pun, termasuk negatif dan pecahan. Rasio negatif membuat tanda suku-suku bergantian (misalnya 1, −2, 4, −8…). Rumus tertutup menangani setiap kasus; satu-satunya syarat untuk jumlah tak hingga yang berhingga tetap |r| < 1.

Mengapa rumusnya berubah ketika r = 1?

Rumus jumlah parsial umum Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) membagi dengan (1 − r), yang bernilai nol ketika r = 1. Dalam hal itu setiap suku sama dengan a, sehingga jumlahnya adalah n salinan a: Sₙ = n·a. Kalkulator mendeteksi r = 1 dan menggunakan kasus khusus ini secara otomatis.

Sumber

• mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
• en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

Ditinjau oleh Tim YouCalc · Terakhir ditinjau24 Mei 2026