Entrez un système linéaire 2×2 ou 3×3 et résolvez-le par la règle de Cramer. Obtenez la solution unique — ou découvrez si le système n'a aucune solution ou en a une infinité — avec le déterminant et un graphe.
Déterminant
-2
Type
Solution unique
Calculateur
Solution
x = 3, y = 2
Les droites/plans se coupent en un seul point.
Déterminant
-2
Type
Solution unique
Règle de Cramer
D = -2
x = Dx / D = -6 / -2 = 3
y = Dy / D = -4 / -2 = 2
Graphe
Comment le système est résolu
Chaque équation est écrite sous la forme a₁x + b₁y (+ c₁z) = d. La règle de Cramer utilise le déterminant D de la matrice des coefficients : chaque variable est égale au déterminant de la matrice dans laquelle la colonne de cette variable est remplacée par les constantes, divisé par D. Un D non nul garantit exactement une solution.
Lorsque D = 0, le système est dégénéré. Si les équations sont compatibles, elles décrivent la même droite ou le même plan et il y a une infinité de solutions ; si elles se contredisent, il n'y a aucune solution. La calculatrice tranche entre ces deux cas en comparant le rang de la matrice des coefficients avec le rang de la matrice augmentée.
Que m'indique le déterminant ?
Un déterminant non nul signifie que le système a exactement une solution. Un déterminant nul signifie que les droites ou les plans sont parallèles ou confondus, donc il n'y a soit aucune solution, soit une infinité.
Peut-il résoudre des systèmes 3×3 ?
Oui. Passez à 3 inconnues pour saisir un système 3×3 ; il est résolu par la règle de Cramer avec des déterminants 3×3. Le mode à 2 inconnues trace également les deux droites pour visualiser leur intersection.
Pourquoi y a-t-il parfois une infinité de solutions ?
Si une équation est un multiple d'une autre (ou une combinaison des autres), elle n'apporte aucune information nouvelle. Les équations décrivent alors la même droite ou le même plan, et tout point sur celle-ci est une solution.
Les résultats sont des estimations. Vérifiez avec un professionnel pour les décisions importantes.
À propos de ce calculateur
Ce calculateur résout un système de 2 ou 3 équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, et indique si le système admet une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions. Utilisez-le pour vérifier des exercices, contrôler des calculs à la main ou explorer l'effet d'un changement de coefficient sur l'intersection des droites ou des plans.
Comment lire vos résultats
La carte de résultat affiche soit la solution exacte (x, y et éventuellement z), soit la classification du système — unique, aucune ou infinie. Le détail pas à pas sous la carte présente le déterminant de la matrice des coefficients et la façon dont chaque variable est calculée par la règle de Cramer. Pour les systèmes 2x2, un graphique dans le plan cartésien trace les deux droites pour visualiser leur point d'intersection.
Exemple concret
Saisissez le système 2x2 : équation 1 — x + y = 5, équation 2 — x - y = 1 (coefficients 1, 1, 5 et 1, -1, 1).
Le déterminant de la matrice des coefficients est -2. La règle de Cramer donne x = -6 / -2 = 3 et y = -4 / -2 = 2, donc la solution unique est x = 3, y = 2. Le graphique montre les deux droites qui se croisent en (3, 2).
Questions fréquentes
Que signifie un déterminant nul ?
Un déterminant nul indique que les équations ne sont pas indépendantes. Le calculateur vérifie alors la matrice augmentée : si son rang coïncide avec celui de la matrice des coefficients, les droites (ou les plans) sont confondus et il y a une infinité de solutions ; si les rangs diffèrent, le système est incompatible et n'admet aucune solution.
Qu'est-ce que la règle de Cramer et quand s'applique-t-elle ?
La règle de Cramer exprime chaque variable comme un rapport de deux déterminants : au numérateur, on remplace la colonne de la variable dans la matrice des coefficients par les termes constants ; au dénominateur figure le déterminant de la matrice des coefficients. Elle ne s'applique que lorsque ce déterminant est non nul, c'est-à-dire lorsque le système a exactement une solution.
Puis-je résoudre un système avec des coefficients décimaux ou fractionnaires ?
Oui. Chaque cellule de coefficient accepte n'importe quel nombre décimal fini. Le solveur travaille en virgule flottante double précision avec une petite tolérance pour les pivots proches de zéro, ce qui donne des résultats précis pour les exercices courants et les systèmes d'ingénierie bien conditionnés.
Méthode de calcul
Le solveur extrait la matrice des coefficients n x n A et le vecteur des constantes b depuis les lignes saisies. Il calcule det(A) par développement par rapport aux cofacteurs (les numérateurs de Cramer sont obtenus en remplaçant successivement chaque colonne de A par b). La classification est déterminée en comparant le rang de A avec celui de la matrice augmentée [A|b] par élimination gaussienne avec pivot partiel : rang(A) = rang([A|b]) = n donne une solution unique, rang(A) = rang([A|b]) < n donne une infinité de solutions, et rang(A) < rang([A|b]) signifie l'incompatibilité. Sources : Wolfram MathWorld ; Khan Academy.
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