Mathématiques

Calculateur de matrices

Additionnez, soustrayez, mettez à l'échelle, multipliez ou transposez des matrices jusqu'à 3×3, et calculez le déterminant ou l'inverse — résultat affiché en grille et coloré selon la magnitude.

Opération: A + B
Résultat: matrice

Résultat

A + B

Résultat de A + B.

Carte de chaleur du résultat

Comment fonctionnent les opérations matricielles

L'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire s'effectuent entrée par entrée. Le produit matriciel calcule le produit scalaire de chaque ligne de A avec chaque colonne de B, donc le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B. La transposée retourne la matrice par rapport à sa diagonale principale.

Le déterminant est calculé par développement par cofacteurs et indique si une matrice carrée est inversible — il doit être non nul. L'inverse est l'adjointe (la transposée de la matrice des cofacteurs) divisée par le déterminant ; multiplier une matrice par son inverse donne la matrice identité.

Pourquoi ne puis-je pas multiplier ces deux matrices ?

Le produit matriciel n'est défini que lorsque le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la seconde. Une matrice 2×2 multipliée par une 2×3 fonctionne, mais une 2×2 multipliée par une 1×3 ne fonctionne pas.

Que signifie un déterminant nul ?

Une matrice carrée dont le déterminant est nul est singulière : elle n'a pas d'inverse, et le système linéaire qu'elle représente n'a soit aucune solution, soit une infinité. Le calculateur affiche une erreur au lieu de l'inverse dans ce cas.

Quelle est la taille maximale de matrice prise en charge ?

Jusqu'à 3×3. Cela couvre les déterminants et inverses enseignés dans la plupart des cours d'algèbre et d'algèbre linéaire introductive, où la méthode des cofacteurs est présentée étape par étape.

Les résultats sont des estimations. Vérifiez avec un professionnel pour les décisions importantes.

À propos de ce calculateur

Ce calculateur effectue les opérations matricielles les plus courantes sur des matrices jusqu’à 3×3 : addition, soustraction, multiplication par un scalaire, produit matriciel, transposée, déterminant et inverse. Saisissez les valeurs de votre matrice, choisissez une opération et le résultat s’affiche instantanément avec une carte de magnitude mettant en évidence la taille relative de chaque entrée.

Comment lire vos résultats

Pour les opérations scalaires comme le déterminant, le nombre principal est directement le résultat. Pour les opérations matricielles, la carte de résultat indique l’opération effectuée et la grille de la carte de magnitude en dessous affiche la matrice résultante — chaque cellule est colorée selon la valeur absolue de son entrée par rapport à la plus grande, ce qui permet de repérer les entrées dominantes d’un seul coup d’œil. La bande statistique en haut de la page confirme l’opération en cours et si le résultat est un scalaire ou une matrice.

Exemple concret

Réglez les deux matrices sur 2×2, choisissez Multiplier et utilisez A = [[1, 2], [3, 4]] avec B = [[5, 6], [7, 8]].

Le produit A × B vaut [[19, 22], [43, 50]]. L’entrée (1,1) = 1×5 + 2×7 = 19 ; l’entrée (1,2) = 1×6 + 2×8 = 22 ; et ainsi de suite — la carte de magnitude affiche 50 comme cellule la plus sombre car c’est la plus grande valeur du résultat.

Questions fréquentes

Quand la multiplication matricielle est-elle définie ?

Le produit A × B n’est défini que lorsque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Pour deux matrices carrées de même taille cette condition est toujours satisfaite, mais notez que A × B et B × A donnent généralement des résultats différents — la multiplication matricielle n’est pas commutative.

Que nous indique le déterminant ?

Le déterminant est un nombre unique qui synthétise une matrice carrée. Un déterminant non nul signifie que la matrice possède un inverse unique et que le système d’équations correspondant a exactement une solution. Un déterminant nul signifie que la matrice est singulière — ses lignes sont linéairement dépendantes et aucun inverse n’existe.

Comment l’inverse est-il calculé ?

Le calculateur utilise la méthode de l’adjoint classique : il forme la matrice des cofacteurs, la transpose pour obtenir l’adjugate, puis divise chaque entrée par le déterminant. Pour une matrice 2×2 [[a,b],[c,d]], cela donne [[d,−b],[−c,a]] divisé par (ad − bc). Si le déterminant est nul, un message d’erreur s’affiche.

Méthode de calcul

L’addition et la soustraction opèrent sur les entrées correspondantes. La multiplication scalaire multiplie chaque entrée par la constante k. Le produit matriciel suit la règle du produit scalaire : l’entrée (i, j) du résultat est le produit scalaire de la ligne i de A et de la colonne j de B. La transposée retourne la matrice par rapport à sa diagonale principale, en échangeant lignes et colonnes. Le déterminant est calculé par développement par cofacteurs le long de la première ligne (Wolfram MathWorld : Determinant). L’inverse est obtenu en divisant l’adjugate par le déterminant (Wolfram MathWorld : Matrix Inverse) ; une matrice singulière de déterminant nul n’a pas d’inverse.

Vous avez remarqué un souci de traduction, un souci de calcul, ou une suggestion ? Faites-le-nous savoir.