Entrez les coefficients a, b et c pour résoudre ax² + bx + c = 0 — obtenez les racines, le discriminant, le sommet et une parabole tracée, avec le détail du calcul.
Discriminant
1
Type de racines
Deux racines réelles
Calculateur
Racines
x₁ = 3, x₂ = 2
La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.
Toute équation du second degré ax² + bx + c = 0 (avec a ≠ 0) se résout par x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. La quantité sous la racine, D = b² − 4ac, est le discriminant : quand D > 0, il y a deux racines réelles distinctes ; quand D = 0, il y a une racine double ; quand D < 0, les racines forment une paire de complexes conjugués.
La représentation graphique de l'équation est une parabole. Son sommet se trouve en x = −b/2a, qui est aussi l'axe de symétrie, et la constante c est le point d'intersection avec l'axe y. Les racines réelles sont exactement les points où la parabole coupe l'axe des abscisses.
Que m'indique le discriminant ?
Le discriminant D = b² − 4ac détermine la nature des racines sans résoudre complètement : positif signifie deux racines réelles distinctes, nul signifie une racine double, et négatif signifie deux racines complexes.
Peut-il gérer les racines complexes ?
Oui. Lorsque le discriminant est négatif, le calculateur retourne les racines sous la forme p ± qi, où p = −b/2a et q = √(−D)/2a.
Pourquoi a ne peut-il pas être nul ?
Si a = 0, le terme x² disparaît et l'équation est linéaire, non quadratique, donc la formule quadratique ne s'applique plus. Utilisez un calculateur de droite ou de pente dans ce cas.
Les résultats sont des estimations. Vérifiez avec un professionnel pour les décisions importantes.
À propos de ce calculateur
Ce calculateur résout n’importe quelle équation du second degré de la forme ax²+bx+c=0, en trouvant les racines réelles ou complexes grâce à la formule quadratique. Entrez les trois coefficients et obtenez instantanément les racines, le discriminant, le sommet, l’axe de symétrie et une parabole tracée.
Comment lire vos résultats
La fiche de résultat affiche les racines en haut — soit deux valeurs réelles distinctes, soit une racine double, soit une paire de complexes conjugués. Sous les racines figurent le discriminant (qui indique le type de racines), les coordonnées du sommet, l’axe de symétrie et l’ordonnée à l’origine. Un petit graphique de parabole trace la courbe en marquant les intersections avec l’axe des abscisses par des points pleins et le sommet par un cercle ouvert. Le détail pas à pas en dessous montre chaque étape de la formule quadratique.
Exemple concret
Entrez a = 1, b = −5, c = 6 (résolution de x² − 5x + 6 = 0).
Le discriminant vaut 1 (positif), donc il y a deux racines réelles distinctes : x₁ = 3 et x₂ = 2. Le sommet est en (2,5 ; −0,25) et l’axe de symétrie est x = 2,5. La parabole coupe l’axe des abscisses aux deux racines.
Questions fréquentes
Que m’indique le discriminant ?
Le discriminant D = b²−4ac détermine le nombre de racines réelles de l’équation. Quand D est positif, la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points ; quand D est nul, elle le touche en une racine double ; quand D est négatif, les racines sont complexes et la parabole ne coupe jamais l’axe des abscisses.
Que sont les racines complexes et quand apparaissent-elles ?
Les racines complexes apparaissent lorsque le discriminant est négatif. Elles forment des paires conjuguées de la forme p ± qi, où i est l’unité imaginaire. Bien qu’elles ne soient pas visibles comme intersections sur l’axe réel, elles constituent des solutions valides de l’équation.
Puis-je l’utiliser quand a n’est pas égal à 1 ?
Oui. Entrez n’importe quelle valeur non nulle pour a. Le calculateur applique la formule quadratique complète x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a), donc des coefficients comme 2, −3 ou 0,5 fonctionnent tout aussi bien.
Méthode de calcul
Les racines sont obtenues par la formule quadratique x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a), telle que documentée par Wolfram MathWorld et Khan Academy. Le discriminant D = b²−4ac est calculé en premier ; son signe détermine si la racine carrée est réelle ou imaginaire. Le sommet est en (−b/2a, f(−b/2a)) et l’axe de symétrie est x = −b/2a. L’ordonnée à l’origine est toujours c, et les intersections réelles avec l’axe des abscisses ne sont signalées que lorsque D ≥ 0.
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