Introduce un sistema lineal 2×2 o 3×3 y resuélvelo con la regla de Cramer. Obtén la solución única — o descubre si el sistema no tiene solución o tiene infinitas — con el determinante y una gráfica.
Determinante
-2
Tipo
Solución única
Calculadora
Solución
x = 3, y = 2
Las rectas/planos se cortan en un único punto.
Determinante
-2
Tipo
Solución única
Regla de Cramer
D = -2
x = Dx / D = -6 / -2 = 3
y = Dy / D = -4 / -2 = 2
Gráfica
Cómo se resuelve el sistema
Cada ecuación se escribe como a₁x + b₁y (+ c₁z) = d. La regla de Cramer utiliza el determinante D de la matriz de coeficientes: cada variable es igual al determinante de la matriz con la columna de esa variable sustituida por las constantes, dividido por D. Un D distinto de cero garantiza exactamente una solución.
Cuando D = 0 el sistema es degenerado. Si las ecuaciones son compatibles describen la misma recta o plano y hay infinitas soluciones; si se contradicen entre sí no hay solución. La calculadora decide entre estos casos comparando el rango de la matriz de coeficientes con el rango de la matriz aumentada.
¿Qué me dice el determinante?
Un determinante no nulo significa que el sistema tiene exactamente una solución. Un determinante nulo significa que las rectas o los planos son paralelos o coincidentes, por lo que no hay solución o hay infinitas.
¿Puede resolver sistemas 3×3?
Sí. Cambia a 3 variables para introducir un sistema 3×3; se resuelve con la regla de Cramer usando determinantes 3×3. El modo de 2 variables también dibuja las dos rectas para que puedas ver la intersección.
¿Por qué hay a veces infinitas soluciones?
Si una ecuación es múltiplo de otra (o combinación de las demás), no aporta información nueva. Las ecuaciones entonces describen la misma recta o plano, y todo punto sobre ella es una solución.
Los resultados son estimaciones. Verifica con un profesional para decisiones importantes.
Acerca de esta calculadora
Esta calculadora resuelve un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 o 3x3 e indica si tiene una solución única, ninguna solución o infinitas soluciones. Úsala para comprobar ejercicios, verificar cálculos hechos a mano o explorar cómo un cambio de coeficiente desplaza la intersección de rectas o planos.
Cómo leer tus resultados
La tarjeta de resultado muestra la solución exacta (x, y y opcionalmente z) o la clasificación del sistema: única, ninguna o infinita. Debajo de la tarjeta, el desglose paso a paso presenta el determinante de la matriz de coeficientes y cómo se obtiene cada variable por la regla de Cramer. Para sistemas 2x2, un gráfico en el plano cartesiano traza ambas rectas para que veas su intersección de un vistazo.
Ejemplo práctico
Introduce el sistema 2x2: ecuación 1 — x + y = 5, ecuación 2 — x - y = 1 (coeficientes 1, 1, 5 y 1, -1, 1).
El determinante de la matriz de coeficientes es -2. La regla de Cramer da x = -6 / -2 = 3 e y = -4 / -2 = 2, por lo que la solución única es x = 3, y = 2. El gráfico muestra las dos rectas cruzándose en (3, 2).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que el determinante sea cero?
Un determinante nulo indica que las ecuaciones no son independientes. La calculadora comprueba entonces la matriz aumentada: si su rango coincide con el de la matriz de coeficientes, las rectas (o los planos) son coincidentes y hay infinitas soluciones; si los rangos difieren, el sistema es incompatible y no tiene solución.
¿Qué es la regla de Cramer y cuándo se aplica?
La regla de Cramer expresa cada variable como una razón de determinantes: el numerador sustituye la columna de la variable en la matriz de coeficientes por los términos independientes, y el denominador es el determinante de la matriz de coeficientes. Solo se aplica cuando ese determinante es distinto de cero, es decir, cuando el sistema tiene exactamente una solución.
¿Puedo resolver un sistema con coeficientes decimales o fraccionarios?
Sí. Cada celda de coeficiente admite cualquier número decimal finito. El solucionador trabaja en aritmética de punto flotante de doble precisión con una pequeña tolerancia para pivotes próximos a cero, lo que produce resultados exactos para ejercicios típicos y sistemas de ingeniería bien condicionados.
Cómo se calcula
El solucionador extrae la matriz de coeficientes n x n A y el vector de constantes b de las filas introducidas. Calcula det(A) por expansión de cofactores (los numeradores de Cramer se obtienen reemplazando sucesivamente cada columna de A por b). La clasificación se determina comparando el rango de A con el de la matriz aumentada [A|b] mediante eliminación gaussiana con pivoteo parcial: rango(A) = rango([A|b]) = n implica solución única; rango(A) = rango([A|b]) < n implica infinitas soluciones; rango(A) < rango([A|b]) implica sistema incompatible. Fuentes: Wolfram MathWorld; Khan Academy.
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