2×2 বা 3×3 রৈখিক সমীকরণ জোট লিখুন এবং ক্রেমারের নিয়মে সমাধান করুন। অনন্য সমাধান পান — অথবা জানুন জোটের কোনো সমাধান নেই বা অসীম সমাধান আছে — নির্ণায়ক ও লেখচিত্রসহ।
নির্ণায়ক
-২
ধরন
অনন্য সমাধান
ক্যালকুলেটর
সমাধান
x = ৩, y = ২
সরলরেখা/তলগুলো একটি বিন্দুতে মিলিত হয়।
নির্ণায়ক
-২
ধরন
অনন্য সমাধান
ক্রেমারের নিয়ম
D = -২
x = Dx / D = -৬ / -২ = ৩
y = Dy / D = -৪ / -২ = ২
লেখচিত্র
জোট কীভাবে সমাধান হয়
প্রতিটি সমীকরণ a₁x + b₁y (+ c₁z) = d আকারে লেখা হয়। ক্রেমারের নিয়ম সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক D ব্যবহার করে: প্রতিটি চলক সেই ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের সমান যেখানে সেই চলকের কলামটি ধ্রুবক দ্বারা প্রতিস্থাপিত, D দিয়ে ভাগ করা হয়। D শূন্য না হলে ঠিক একটি সমাধান নিশ্চিত হয়।
D = 0 হলে জোটটি অনিয়মিত। সমীকরণগুলো সংগত হলে একই সরলরেখা বা তল বর্ণনা করে এবং অসীম সমাধান থাকে; পরস্পরবিরোধী হলে কোনো সমাধান নেই। ক্যালকুলেটর সহগ ম্যাট্রিক্সের ক্রম ও বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের ক্রম তুলনা করে এই দুটির মধ্যে সিদ্ধান্ত নেয়।
নির্ণায়ক আমাকে কী বলে?
শূন্য-নয় নির্ণায়কের মানে জোটের ঠিক একটি সমাধান আছে। শূন্য নির্ণায়কের মানে সরলরেখা বা তলগুলো সমান্তরাল বা অভিন্ন, তাই কোনো সমাধান নেই বা অসীম সমাধান আছে।
এটি কি 3×3 জোট সমাধান করতে পারে?
হ্যাঁ। 3×3 জোট প্রবেশ করাতে ৩টি চলকে স্যুইচ করুন; এটি 3×3 নির্ণায়ক দিয়ে ক্রেমারের নিয়মে সমাধান হয়। ২-চলক মোডে দুটি সরলরেখাও আঁকা হয় যাতে ছেদবিন্দু দেখতে পারেন।
কখনো কখনো অসীম সমাধান কেন থাকে?
যদি একটি সমীকরণ অন্যটির গুণিতক হয় (বা বাকিগুলোর সমন্বয়), তাহলে এটি নতুন কোনো তথ্য যোগ করে না। তখন সমীকরণগুলো একই সরলরেখা বা তল বর্ণনা করে এবং এর উপর প্রতিটি বিন্দুই একটি সমাধান।
ফলাফলগুলো আনুমানিক। গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্তের জন্য একজন বিশেষজ্ঞের সাথে যাচাই করুন।
এই ক্যালকুলেটর সম্পর্কে
এই ক্যালকুলেটর 2x2 বা 3x3 রৈখিক সমীকরণ জোট সমাধান করে এবং জানায় যে এর একটি অনন্য সমাধান আছে, কোনো সমাধান নেই, নাকি অসীম সমাধান আছে। এটি হোমওয়ার্ক যাচাই করতে, হাতে করা সমাধান নিশ্চিত করতে বা কোনো সহগ পরিবর্তন করলে সরলরেখা বা তলের ছেদবিন্দু কীভাবে সরে যায় তা অন্বেষণ করতে ব্যবহার করুন।
কীভাবে ফলাফল পড়বেন
ফলাফল কার্ডটি হয় সঠিক সমাধান (x, y এবং ঐচ্ছিকভাবে z) অথবা সমীকরণ জোটের শ্রেণিবিভাগ দেখায় — অনন্য, কোনোটি নেই, বা অসীম। কার্ডের নিচে ধাপে ধাপে বিশ্লেষণে সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক এবং ক্রেমারের নিয়মে প্রতিটি চলক কীভাবে পাওয়া যায় তা দেখানো হয়। 2x2 সমীকরণ জোটের জন্য একটি স্থানাঙ্ক-তল গ্রাফ উভয় সরলরেখা আঁকে, যাতে আপনি এক নজরে তাদের ছেদবিন্দু দেখতে পান।
একটি উদাহরণ
2x2 জোট লিখুন: সমীকরণ 1 — x + y = 5 এবং সমীকরণ 2 — x - y = 1 (সহগ 1, 1, 5 এবং 1, -1, 1)।
সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক -2। ক্রেমারের নিয়মে x = -6 / -2 = 3 এবং y = -4 / -2 = 2 পাওয়া যায়, তাই অনন্য সমাধান হলো x = 3, y = 2। গ্রাফে দুটি সরলরেখা (3, 2) বিন্দুতে ছেদ করতে দেখা যায়।
সাধারণ প্রশ্ন
নির্ণায়ক শূন্য হলে কী বোঝায়?
শূন্য নির্ণায়ক মানে সমীকরণগুলো স্বাধীন নয়। তখন ক্যালকুলেটর বর্ধিত ম্যাট্রিক্স পরীক্ষা করে: এর ক্রম যদি সহগ ম্যাট্রিক্সের ক্রমের সমান হয়, তাহলে সরলরেখা (বা তল) মিলে যায় এবং অসীম সমাধান থাকে; ক্রম ভিন্ন হলে সমীকরণ জোট অসংগত এবং কোনো সমাধান নেই।
ক্রেমারের নিয়ম কী এবং কখন প্রযোজ্য?
ক্রেমারের নিয়ম প্রতিটি চলককে দুটি নির্ণায়কের অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করে — লব-এ সহগ ম্যাট্রিক্সের সেই চলকের কলামটি ধ্রুবক পদগুলো দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়, এবং হর হলো সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক। এটি কেবল তখনই প্রযোজ্য যখন নির্ণায়ক শূন্য নয়, অর্থাৎ সমীকরণ জোটের ঠিক একটি সমাধান থাকে।
দশমিক বা ভগ্নাংশ সহগ সহ জোট সমাধান করা যাবে?
হ্যাঁ। প্রতিটি সহগ ঘর যেকোনো সসীম দশমিক সংখ্যা গ্রহণ করে। সমাধানকারী দ্বৈত-নির্ভুলতার ফ্লোটিং-পয়েন্ট গণনায় কাজ করে এবং শূন্যের কাছাকাছি মূল উপাদানের জন্য একটি ছোট সহনশীলতা রাখে, তাই সাধারণ হোমওয়ার্ক সমস্যা এবং সুনিয়ন্ত্রিত ইঞ্জিনিয়ারিং জোটের জন্য ফলাফল নির্ভুল।
কীভাবে গণনা করা হয়
সমাধানকারী ইনপুট সারি থেকে n x n সহগ ম্যাট্রিক্স A এবং ধ্রুবক ভেক্টর b বের করে। এটি cofactor সম্প্রসারণ দিয়ে det(A) গণনা করে (ক্রেমারের লব পাওয়া যায় A-এর প্রতিটি কলাম পর্যায়ক্রমে b দিয়ে প্রতিস্থাপন করে)। আংশিক পিভটিং সহ গাউসীয় অপনয়ন দিয়ে A-এর ক্রম এবং বর্ধিত ম্যাট্রিক্স [A|b]-এর ক্রম তুলনা করে শ্রেণিবিভাগ নির্ধারিত হয়: rank(A) = rank([A|b]) = n মানে অনন্য সমাধান; rank(A) = rank([A|b]) < n মানে অসীম সমাধান; rank(A) < rank([A|b]) মানে কোনো সমাধান নেই। সূত্র: Wolfram MathWorld; Khan Academy।
অনুবাদে কোনো বিষয়, হিসাবে কোনো প্রশ্ন, বা কোনো পরামর্শ আছে? আমাদের জানান।