ax² + bx + c = 0 সমাধান করতে a, b এবং c সহগ লিখুন — মূল, নিরূপক, শীর্ষবিন্দু এবং প্যারাবোলার লেখচিত্র সহ সম্পূর্ণ কাজ দেখুন।
নিরূপক: D = b² − 4ac = (-৫)² − 4·(১)·(৬) = ১
x = (−b ± √D) / 2a = (৫ ± √১) / ২
প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 (যেখানে a ≠ 0) x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a সূত্র দ্বারা সমাধান করা হয়। মূলের নিচের রাশি D = b² − 4ac হলো নিরূপক: D > 0 হলে দুটি বাস্তব মূল, D = 0 হলে একটি পুনরাবৃত্ত মূল এবং D < 0 হলে মূলগুলো জটিল অনুবন্ধী জোড়া।
সমীকরণের লেখচিত্র একটি প্যারাবোলা। এর শীর্ষবিন্দু x = −b/2a-এ থাকে, যা প্রতিসাম্য অক্ষও বটে, এবং ধ্রুবক c হলো y-অক্ষের সাথে ছেদবিন্দু। বাস্তব মূলগুলো ঠিক সেই বিন্দু যেখানে প্যারাবোলা x-অক্ষকে ছেদ করে।
নিরূপক D = b² − 4ac সম্পূর্ণ সমাধান ছাড়াই মূলের ধরন নির্ধারণ করে: ধনাত্মক মানে দুটি আলাদা বাস্তব মূল, শূন্য মানে একটি পুনরাবৃত্ত মূল, আর ঋণাত্মক মানে দুটি জটিল মূল।
হ্যাঁ। নিরূপক ঋণাত্মক হলে ক্যালকুলেটর p ± qi আকারে মূল দেখায়, যেখানে p = −b/2a এবং q = √(−D)/2a।
a = 0 হলে x² পদটি অদৃশ্য হয়ে যায় এবং সমীকরণটি রৈখিক হয়ে পড়ে, দ্বিঘাত থাকে না, তাই দ্বিঘাত সূত্র আর প্রযোজ্য হয় না। এই ক্ষেত্রে রেখা/ঢাল ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।
এই ক্যালকুলেটর ax²+bx+c=0 আকারের যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে, দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে বাস্তব বা জটিল মূল বের করে। তিনটি সহগ লিখুন এবং সাথে সাথে মূল, নিরূপক, শীর্ষবিন্দু, প্রতিসাম্য অক্ষ এবং প্যারাবোলার লেখচিত্র পান।
ফলাফল কার্ডে উপরে মূলগুলো দেখানো হয় — দুটি আলাদা বাস্তব মান, একটি পুনরাবৃত্ত মূল, বা একটি জটিল অনুবন্ধী জোড়া। মূলের নিচে নিরূপক (যা মূলের ধরন জানায়), শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক, প্রতিসাম্য অক্ষ এবং y-অক্ষের ছেদবিন্দু থাকে। একটি ছোট প্যারাবোলা চার্ট বক্ররেখা আঁকে, যেখানে x-অক্ষের বাস্তব ছেদবিন্দু ভরা বিন্দু দিয়ে এবং শীর্ষবিন্দু ফাঁকা বৃত্ত দিয়ে চিহ্নিত থাকে। নিচের ধাপে ধাপে বিবরণে দ্বিঘাত সূত্রের প্রতিটি ধাপ দেখানো হয়।
a = 1, b = −5, c = 6 লিখুন (x² − 5x + 6 = 0 সমাধানের জন্য)।
নিরূপক হলো 1 (ধনাত্মক), তাই দুটি আলাদা বাস্তব মূল আছে: x₁ = 3 এবং x₂ = 2। শীর্ষবিন্দু (2.5, −0.25)-এ এবং প্রতিসাম্য অক্ষ হলো x = 2.5। প্যারাবোলা দুটি মূলেই x-অক্ষকে ছেদ করে।
নিরূপক D = b²−4ac নির্ধারণ করে সমীকরণের কতটি বাস্তব মূল আছে। যখন D ধনাত্মক, প্যারাবোলা x-অক্ষকে দুইবার ছেদ করে; যখন D শূন্য, এটি একটি পুনরাবৃত্ত মূলে স্পর্শ করে; যখন D ঋণাত্মক, মূলগুলো জটিল সংখ্যা এবং প্যারাবোলা কখনো x-অক্ষ ছেদ করে না।
নিরূপক ঋণাত্মক হলে জটিল মূল আসে। এগুলো p ± qi আকারে অনুবন্ধী জোড়ায় আসে, যেখানে i হলো কাল্পনিক একক। বাস্তব অক্ষে ছেদবিন্দু হিসেবে দৃশ্যমান না হলেও এগুলো সমীকরণের বৈধ সমাধান।
হ্যাঁ। a-এর জন্য যেকোনো অশূন্য মান লিখুন। ক্যালকুলেটর পূর্ণ দ্বিঘাত সূত্র x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) প্রয়োগ করে, তাই 2, −3 বা 0.5-এর মতো সহগও সমানভাবে কাজ করে।
মূলগুলো দ্বিঘাত সূত্র x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) দ্বারা বের করা হয়, যা Wolfram MathWorld এবং Khan Academy কর্তৃক নথিভুক্ত। প্রথমে নিরূপক D = b²−4ac গণনা করা হয়; এর চিহ্ন নির্ধারণ করে বর্গমূলটি বাস্তব না কাল্পনিক। শীর্ষবিন্দু হলো (−b/2a, f(−b/2a)) এবং প্রতিসাম্য অক্ষ হলো x = −b/2a। y-অক্ষের ছেদবিন্দু সবসময় c, এবং বাস্তব x-ছেদবিন্দু কেবল তখনই জানানো হয় যখন D ≥ 0।
অনুবাদে কোনো বিষয়, হিসাবে কোনো প্রশ্ন, বা কোনো পরামর্শ আছে? আমাদের জানান।