رياضيات

حاسبة المثلث

أدخل أي ثلاثة عناصر — أضلاعًا وزوايا — وحُلّ المثلث كاملًا بقانون الجيب وجيب التمام. احصل على كل ضلع وزاوية، والمساحة والمحيط ونصفَي القطر، مع رسم تخطيطي.

المساحة: 6
المحيط: 12

الأضلاع: a=3, b=4, c=5
الزوايا: A=36.87°, B=53.13°, C=90°
المساحة: 6
المحيط: 12
نصف قطر الدائرة المحيطة (R): 2.5
نصف قطر الدائرة المرسومة (r): 1

كيف يُحل المثلث

يتحدد المثلث تمامًا بثلاثة عناصر ما دام أحدها ضلعًا على الأقل. يتعامل قانون جيب التمام (c² = a² + b² − 2ab·cosC) مع ثلاثة أضلاع (SSS) أو ضلعين والزاوية المحصورة (SAS)؛ ويتعامل قانون الجيب (a/sinA = b/sinB = c/sinC) مع زاويتين وضلع (ASA/AAS).

قد تكون حالة SSA — ضلعان وزاوية غير محصورة — غامضة: قد يحققها صفر أو واحد أو مثلثان. يتحقق الحاسب من كل احتمال ويُرجع كل المثلثات الصحيحة. تُحسب المساحة بصيغة هيرون، ونصف القطر المحيط من R = abc/4·المساحة، ونصف القطر الداخلي من r = المساحة/s.

لماذا أحصل أحيانًا على مثلثين؟

عندما تعطي ضلعين وزاوية مقابلة لأحدهما (حالة SSA)، يكون للزاوية المجهولة قيمتان ممكنتان تُغلقان المثلث. هذه هي الحالة الغامضة الكلاسيكية، ويُعرض الحلان.

ما المدخلات الصحيحة؟

ثلاثة بالضبط من العناصر الستة (ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا)، مع ضلع واحد على الأقل. الزوايا الثلاث وحدها تحدد الشكل لا الحجم، لذا يلزم دائمًا ضلع.

هل الزوايا بالدرجات أم الراديان؟

تُدخَل الزوايا وتُعرَض بالدرجات. ومجموع الزوايا الداخلية الثلاث دائمًا 180°.

النتائج تقديرية. تحقق مع مختص قبل اتخاذ قرارات مهمة.

حول هذه الحاسبة

تحلّ هذه الحاسبة أي مثلث عند إدخال ثلاثة عناصر معلومة تحديداً — أضلاع أو زوايا بأي تركيبة (SSS أو SAS أو ASA أو AAS أو حالة SSA الملتبسة). أدخل ما لديك وستملأ الأداة العناصر الستة جميعها إضافةً إلى المساحة والمحيط ونصف قطر الدائرة المحيطة ونصف قطر الدائرة المحاطة.

كيف تقرأ نتائجك

بعد إدخال ثلاث قيم معلومة تظهر بطاقة النتيجة على اليمين، وتعرض رسماً مقيّساً للمثلث مع رأسين موسومين A وB وC، يليه جدول بيانات يتضمّن الأضلاع الثلاثة والزوايا الثلاث بالدرجات والمساحة والمحيط ونصف قطر الدائرتين. إذا كانت المدخلات من نوع SSA وأنتجت مثلثين صالحَين، يُعرض كلاهما في بطاقتين منفصلتين.

مثال تطبيقي

أدخل الأضلاع الثلاثة لمثلث قائم الزاوية: a = 3 وb = 4 وc = 5.

تُعيد الحاسبة الزاوية A نحو 36.87 درجة والزاوية B نحو 53.13 درجة والزاوية C 90 درجة تماماً. المساحة = 6، المحيط = 12، نصف قطر الدائرة المحيطة = 2.5، نصف قطر الدائرة المحاطة = 1.

الأسئلة الشائعة

ما هي الحالة الملتبسة لـ SSA؟

حين تعرف ضلعَين والزاوية المقابلة لأحدهما (SSA)، قد تنطبق البيانات على صفر مثلث أو مثلث واحد أو مثلثَين مختلفَين. تفحص الحاسبة جميع الاحتمالات وتُعيد كل حل صالح، فترى فوراً ما إذا كانت المسألة ملتبسة.

هل تُدخَل الزوايا بالدرجات أم بالتقدير الدائري؟

تُدخَل الزوايا وتُعرَض بالدرجات. تُجري الحسابات الداخلية التحويل إلى التقدير الدائري تلقائياً، فلا داعي لأن تقوم بذلك بنفسك.

ما مدى دقة النتائج؟

تعتمد الحاسبة الدقة المزدوجة لـ JavaScript مما يمنح نحو 15 رقماً معنوياً. تُعرض النتائج بثلاثة أرقام عشرية، وهو أكثر من كافٍ للبناء الهندسي والرسم الفني والواجبات الدراسية.

طريقة الحساب

في حالة SSS تُحسَب الزوايا بقانون جيب التمام: A = arccos((b^2 + c^2 - a^2) / 2bc)، ثم الزاوية الثالثة بالطرح. في حالة SAS يُحسَب الضلع المجهول من c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C ثم الزوايا بقانون جيب التمام. في حالتَي ASA وAAS تُطرح الزاويتان المعلومتان من 180 درجة للحصول على الثالثة، ثم تُحسَب الأضلاع بنسبة قانون الجيب a/sin A = b/sin B = c/sin C. في حالة SSA يُطبَّق قانون الجيب لإيجاد الزاوية المقابلة للضلع الثاني ثم يُتحقَّق من كون الزاوية الثالثة موجبة. المساحة بقانون هيرون: جذر(s(s-a)(s-b)(s-c)) حيث s نصف المحيط. نصف قطر الدائرة المحيطة = abc / (4 × المساحة)؛ ونصف قطر الدائرة المحاطة = المساحة / s.

لاحظت ملاحظة على الترجمة أو الحساب، أو لديك اقتراح؟ أخبرنا.