أدخل نظامًا خطيًا 2×2 أو 3×3 وحُلّه بقاعدة كرامر. احصل على الحل الوحيد — أو اعرف أن النظام بلا حل أو بعدد لا نهائي من الحلول — مع المحدّد ورسم بياني.
D = -2
x = Dx / D = -6 / -2 = 3
y = Dy / D = -4 / -2 = 2
تُكتب كل معادلة بالصورة a₁x + b₁y (+ c₁z) = d. تستخدم قاعدة كرامر محدّد مصفوفة المعاملات D: كل متغير يساوي محدّد المصفوفة بعد استبدال عمود ذلك المتغير بالثوابت، مقسومًا على D. ووجود D غير صفري يضمن حلًا واحدًا بالضبط.
عندما يكون D = 0 يكون النظام منحلًّا. إن كانت المعادلات متوافقة فهي تصف الخط أو المستوى نفسه وتوجد حلول لا نهائية؛ وإن تناقضت فلا يوجد حل. تقرر الحاسبة بين الحالتين بمقارنة رتبة مصفوفة المعاملات برتبة المصفوفة الموسَّعة.
المحدّد غير الصفري يعني أن للنظام حلًا واحدًا بالضبط. والمحدّد الصفري يعني أن الخطوط أو المستويات متوازية أو متطابقة، فإما لا حلول أو حلول لا نهائية.
نعم. بدّل إلى ثلاثة متغيرات لإدخال نظام 3×3؛ يُحل بقاعدة كرامر بمحددات 3×3. كما يرسم وضع المتغيرين الخطين لترى التقاطع.
إذا كانت إحدى المعادلات مضاعفًا لأخرى (أو تركيبًا من الباقي) فإنها لا تضيف معلومات جديدة. عندئذٍ تصف المعادلات الخط أو المستوى نفسه، وكل نقطة عليه حل.
تحلّ هذه الحاسبة أنظمة المعادلات الخطية من الحجم 2×2 أو 3×3، وتخبرك ما إذا كان النظام يملك حلًّا وحيدًا، أو لا يملك أيَّ حل، أو يملك ما لا نهاية من الحلول. استخدمها للتحقّق من الواجبات، أو التحقّق من الحلول اليدوية، أو استكشاف كيف يغيّر تعديل معامل موقع تقاطع الخطوط أو المستويات.
تُظهر بطاقة النتيجة الحلّ الدقيق (x وy وربما z) أو تصنيف النظام — حل وحيد، أو لا حل، أو حلول لانهائية. وأسفل البطاقة يعرض التحليل التدريجي محدّد المصفوفة المعاملية وكيفية استخراج كل متغيّر بقاعدة كرامر. وفي أنظمة 2×2 يرسم مخطّط المستوى الإحداثي الخطَّين لترى تقاطعهما بوضوح.
أدخِل النظام 2×2: المعادلة الأولى x + y = 5، والثانية x - y = 1 (المعاملات 1، 1، 5 و1، -1، 1).
محدّد مصفوفة المعاملات هو -2. وبقاعدة كرامر: x = -6 / -2 = 3، وy = -4 / -2 = 2، فالحل الوحيد هو x = 3، y = 2. ويُظهر الرسم البياني تقاطع الخطَّين عند (3، 2).
يعني المحدّد الصفري أن المعادلات غير مستقلّة. تتحقّق الحاسبة حينئذٍ من المصفوفة المعزّزة: إن تساوت رتبتها مع رتبة مصفوفة المعاملات فالخطوط (أو المستويات) متطابقة ويوجد ما لا نهاية من الحلول؛ وإن اختلفت الرتبتان فالنظام متناقض ولا حلّ له.
تعبّر قاعدة كرامر عن كل متغيّر كنسبة محدّدَين — يستبدل البسط عمود المتغيّر في مصفوفة المعاملات بحدود الثابتة، بينما المقام هو محدّد مصفوفة المعاملات. وتنطبق فقط حين يكون المحدّد غير صفري، أي حين يوجد حل وحيد.
نعم. تقبل كل خلية معاملات أي عدد عشري منتهٍ. يعمل المحلّل بالحساب العائم ذي الدقة المزدوجة مع تسامح صغير للمحاور القريبة من الصفر، فتكون النتائج دقيقة لمسائل الواجبات النموذجية والأنظمة الهندسية ذات التهيئة الجيدة.
يستخرج المحلّل مصفوفة المعاملات n×n ووشيحة الثوابت b من صفوف الإدخال. يحسب det(A) بالتوسّع عبر المرافقات (تُحدَّد البسوط بقاعدة كرامر باستبدال كل عمود من A بـb). يُحدَّد تصنيف النظام بمقارنة رتبة A مع رتبة المصفوفة المعزّزة [A|b] عبر حذف غاوس مع الإزاحة الجزئية: رتبة(A) = رتبة([A|b]) = n تعني حلًّا وحيدًا، ورتبة(A) = رتبة([A|b]) < n تعني حلولًا لانهائية، ورتبة(A) < رتبة([A|b]) تعني لا حلّ. المصادر: Wolfram MathWorld؛ Khan Academy.
لاحظت ملاحظة على الترجمة أو الحساب، أو لديك اقتراح؟ أخبرنا.