حاسبة التباديل والتوافيق
اختر r عنصرًا من n وشاهد عدد الطرق الممكنة — مرتّبة (تباديل) أو غير مرتّبة (توافيق)، بتكرار وبدونه — مع خطوات العوامل ومثلث باسكال.
- nPr
- 60
- nCr
- 10
الحاسبة
الخطوات
nPr = n! / (n − r)! = 5! / 2! = 60
nCr = n! / (r!·(n − r)!) = 10
مثلث باسكال (الصف n = 5)
حول هذه الحاسبة
تحسب هذه الحاسبة القيم الأربع الكلاسيكية في آنٍ واحد: الترتيبات المرتّبة دون تكرار (nPr)، والترتيبات غير المرتّبة دون تكرار (nCr)، والترتيبات المرتّبة مع التكرار (nʳ)، وغير المرتّبة مع التكرار. أدخل حجم المجموعة n وحجم العيّنة r، لتحصل على جميع القيم فورًا.
كيف تقرأ نتائجك
الرقم الرئيسي هو nCr، أي عدد طرق اختيار r عناصر من n دون مراعاة الترتيب. تحته تجد أيضًا nPr (الترتيب مهم، بدون تكرار)، وnʳ (الترتيب مهم، مع تكرار)، وعدد التوافيق مع التكرار. تعرض خطوات التفصيل توسيع المضروب الضربي لـnPr وnCr، كما يُبرز مثلث باسكال المكان الدقيق لقيمة nCr.
طريقة الحساب
تستخدم التباديل دون تكرار صيغة nPr = n! / (n − r)!، وتُحسب ضربيًّا كحاصل ضرب n × (n−1) × … × (n−r+1) لتفادي الفيضان. وتستخدم التوافيق دون تكرار nCr = n! / (r!(n−r)!)، وتُحسب بالصيغة الضربية المتماثلة ∏(n−k+i)/i من i=1 إلى k حيث k = min(r, n−r). الترتيبات المرتّبة مع التكرار ببساطة nʳ، أمّا غير المرتّبة مع التكرار فتستخدم صيغة المجموعة المتعددة C(n+r−1, r)، أيضًا محسوبة ضربيًّا.
مثال تطبيقي
اختر 3 عناصر من مجموعة مكوّنة من 5 (مثلًا اختيار 3 إضافات من قائمة تضمّ 5).
nPr = 60 ترتيبًا مرتّبًا؛ nCr = 10 اختيارات غير مرتّبة؛ مع التكرار: 125 مرتّبة و35 غير مرتّبة.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التباديل والتوافيق؟
يعدّ التبادل الترتيبات التي يكون فيها الترتيب مهمًّا — فـABC وBAC نتيجتان مختلفتان. أمّا التوافيق فيعدّ الاختيارات التي لا يهمّ فيها الترتيب — فـABC وBAC نتيجة واحدة. استخدم التباديل للتصنيفات والتسلسلات، والتوافيق للجان والفرق والمجموعات الفرعية.
متى أستخدم صيغة التكرار؟
استخدم التكرار حين يمكن اختيار العنصر أكثر من مرة، كاختيار أرقام لكلمة مرور أو نكهات يمكن تكرارها. تغطّي صيغة nʳ الخيارات المرتّبة مع التكرار، وتغطّي C(n+r−1, r) الخيارات غير المرتّبة مع التكرار.
لماذا تتوقف الحاسبة عند n = 170؟
170 هو أكبر عدد صحيح لا تتجاوز قيمة مضروبه حدود أرقام الفاصلة العائمة ذات 64 بت (170! ≈ 7.3 × 10³⁰⁶). ما وراء ذلك ينتج عن نوع Number في جاڤاسكريبت فيضان إلى ما لا نهاية. تستخدم الحاسبة صيغة ضربية بدلًا من حساب المضروبات الكاملة للحصول على نتائج دقيقة.
المصادر
تمت المراجعة بواسطة فريق YouCalc · آخر مراجعة
لاحظت ملاحظة على الترجمة أو الحساب، أو لديك اقتراح؟ أخبرنا.