标准差计算器
粘贴或输入一组数字，即可获得完整的描述性统计量——平均数、中位数、众数、方差和标准差、四分位数、四分位距和离群值——并附直方图。
- 平均数
- 5
- 标准差
- 2.1381
计算器
- 个数 (n)
- 8
- 总和
- 40
- 平均数
- 5
- 中位数
- 4.5
- 众数
- 4
- 极差
- 7
- 最小值
- 2
- 最大值
- 9
- Q1（25%）
- 4
- Q3（75%）
- 6
- 四分位距
- 2
- 离群值
- 无
分步解答
- n = 8
- x̄ = Σx / n = 40 / 8 = 5
- xᵢ − x̄ = -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4
- (xᵢ − x̄)² = 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
- Σ(xᵢ − x̄)² = 32
- s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) = 32 / (8 − 1) = 4.5714
- s = √4.5714 = 2.1381
数据的直方图，并标出平均数以及 ±1σ 和 ±2σ 区间。
Show data table
| 分布 | 个数 (n) |
|---|---|
| 2–3.75 | 1 |
| 3.75–5.5 | 5 |
| 5.5–7.25 | 1 |
| 7.25–9 | 1 |
关于此计算器
此计算器可分析任意一组数字，并返回完整的摘要：平均数、中位数、众数、极差、总体标准差和样本标准差、方差、四分位数、四分位距（IQR）以及离群值。无论是学校作业、科学研究还是质量控制检查，凡是需要了解一组数据有多分散时，都可以使用它。
如何解读你的结果
标题处的数字是标准差——可以是总体标准差（σ，除以 n）或样本标准差（s，除以 n−1），通过开关切换。下方一眼即可看到方差、中位数和极差。完整的统计表列出每一项度量，包括 Q1、Q3、IQR 以及任何被标记的离群值。直方图绘制每个区间的频数，并在平均数周围给 ±1σ 区间着色，用一条虚线标出平均数本身。
计算方法
平均数是算术平均值（总和 ÷ 个数）。方差是各数值相对平均数的离差平方的平均：总体除以 n，样本除以 n−1。标准差是方差的平方根。中位数是排序后列表的中间值；个数为偶数时取两个中间值的平均。四分位数采用「两半中位数」法，对奇数长度的列表会排除中位数本身。离群值依据应用于所得围栏的 1.5 · IQR 规则进行标记。来源：NIST/SEMATECH e-Handbook 和可汗学院（Khan Academy）（见参考资料）。
实例演示
输入经典数据集 2、4、4、4、5、5、7、9（大多数统计学教科书中使用的八个数值），并选择总体模式。
平均数为 5，总体标准差恰好为 2，方差为 4。切换到样本模式后，s ≈ 2.1381，方差 ≈ 4.5714，因为分母变成了 n−1 = 7。
常见问题
总体标准差和样本标准差有什么区别？
总体标准差（σ）是把离差平方和除以 n，即数据总个数。样本标准差（s）则除以 n−1——这一修正称为贝塞尔修正（Bessel's correction）——用于消除当你从更大群体的子集中进行估计时出现的轻微向下偏差。当你的列表就是整个群体时，使用总体模式；当它是从更大总体中抽取的子集时，使用样本模式。
离群值是如何识别的？
计算器采用四分位距（IQR）围栏规则：任何低于 Q1 − 1.5 · IQR 或高于 Q3 + 1.5 · IQR 的数值都会被标记为潜在离群值。该方法对大致对称的分布效果良好；高度偏斜的数据可能需要采用其他方法。
标准差越大说明什么？
标准差大说明数值在平均数周围分布得很分散；标准差小则说明它们紧密聚集。两个平均数相同的数据集在实际中可能表现得非常不同——标准差较大的那个具有更高的变异性，在许多领域中也意味着更大的风险。
资料来源
- www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda356.htm
- www.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/variance-standard-deviation-population/a/calculating-standard-deviation-step-by-step
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