ax² + bx + c = 0 حل کرنے کے لیے ضرائب a، b اور c درج کریں — جڑیں، ممیز، رأس اور پیرابولا کا گراف حاصل کریں، تمام مراحل کے ساتھ۔
ممیز: D = b² − 4ac = (-5)² − 4·(1)·(6) = 1
x = (−b ± √D) / 2a = (5 ± √1) / 2
ہر دوتائی مساوات ax² + bx + c = 0 (جہاں a ≠ 0) کو x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a سے حل کیا جاتا ہے۔ جذر کے نیچے کی مقدار D = b² − 4ac ممیز کہلاتی ہے: D > 0 ہو تو دو الگ الگ حقیقی جڑیں، D = 0 ہو تو ایک دہرائی ہوئی جڑ، اور D < 0 ہو تو جڑیں مرکب مقترن جوڑا ہوتی ہیں۔
مساوات کا گراف ایک پیرابولا ہے۔ اس کا رأس x = −b/2a پر ہوتا ہے، جو محورِ تماثل بھی ہے، اور ثابت c وہ جگہ ہے جہاں یہ y-محور سے ملتا ہے۔ حقیقی جڑیں بالکل وہی نقاط ہیں جہاں پیرابولا x-محور کو کاٹتا ہے۔
ممیز D = b² − 4ac مکمل حل کیے بغیر جڑوں کی نوعیت طے کرتا ہے: مثبت کا مطلب دو الگ الگ حقیقی جڑیں، صفر کا مطلب ایک دہرائی ہوئی جڑ، اور منفی کا مطلب دو مرکب جڑیں۔
جی ہاں۔ جب ممیز منفی ہو تو کیلکولیٹر جڑیں p ± qi کی شکل میں دیتا ہے، جہاں p = −b/2a اور q = √(−D)/2a ہے۔
اگر a = 0 ہو تو x² کی اصطلاح غائب ہو جاتی ہے اور مساوات خطی ہو جاتی ہے، دوتائی نہیں رہتی، اس لیے کواڈریٹک فارمولا لاگو نہیں ہوتا۔ اس صورت میں خط/ڈھلان کیلکولیٹر استعمال کریں۔
یہ کیلکولیٹر ax²+bx+c=0 کی شکل کی کسی بھی دوتائی مساوات کو حل کرتا ہے، کواڈریٹک فارمولے کے ذریعے حقیقی یا مرکب جڑیں نکالتا ہے۔ تین ضرائب درج کریں اور فوری طور پر جڑیں، ممیز، رأس، محورِ تماثل اور پیرابولا کا گراف دیکھیں۔
نتیجہ کارڈ اوپر جڑیں دکھاتا ہے — یا تو دو الگ الگ حقیقی قدریں، یا ایک دہرائی ہوئی جڑ، یا مرکب مقترن جوڑا۔ جڑوں کے نیچے ممیز ملتا ہے جو جڑوں کی نوعیت بتاتا ہے، رأس کے نقاط، محورِ تماثل، اور y-محور پر نقطۂ تقاطع۔ ایک چھوٹا پیرابولا چارٹ منحنی کو پلاٹ کرتا ہے جس میں حقیقی x-نقاطِ تقاطع کو بھرے دائروں سے اور رأس کو کھلے دائرے سے نشان زد کیا جاتا ہے۔ نیچے دیا گیا مرحلہ وار جائزہ کواڈریٹک فارمولے کا ہر مرحلہ دکھاتا ہے۔
a = 1، b = −5، c = 6 درج کریں (x² − 5x + 6 = 0 حل کرنے کے لیے)۔
ممیز 1 ہے (مثبت)، اس لیے دو الگ الگ حقیقی جڑیں ہیں: x₁ = 3 اور x₂ = 2۔ رأس (2.5، −0.25) پر ہے اور محورِ تماثل x = 2.5 ہے۔ پیرابولا دونوں جڑوں پر x-محور کو کاٹتا ہے۔
ممیز D = b²−4ac طے کرتا ہے کہ مساوات کی کتنی حقیقی جڑیں ہیں۔ جب D مثبت ہو تو پیرابولا x-محور کو دو بار کاٹتا ہے؛ جب D صفر ہو تو وہ ایک دہرائی ہوئی جڑ پر اسے چھوتا ہے؛ جب D منفی ہو تو جڑیں مرکب اعداد ہوتی ہیں اور پیرابولا کبھی x-محور کو نہیں کاٹتا۔
مرکب جڑیں اس وقت ظاہر ہوتی ہیں جب ممیز منفی ہو۔ یہ p ± qi کی شکل میں مقترن جوڑوں میں آتی ہیں، جہاں i خیالی اکائی ہے۔ اگرچہ یہ حقیقی x-محور پر نظر نہیں آتیں، پھر بھی مساوات کے درست حل ہیں۔
جی ہاں۔ a کے لیے کوئی بھی غیر صفر قدر درج کریں۔ کیلکولیٹر مکمل کواڈریٹک فارمولا x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) استعمال کرتا ہے، اس لیے 2، −3 یا 0.5 جیسے ضرائب بھی اتنے ہی کام کرتے ہیں۔
جڑیں کواڈریٹک فارمولا x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) کے ذریعے نکالی جاتی ہیں، جیسا کہ Wolfram MathWorld اور Khan Academy نے درج کیا ہے۔ پہلے ممیز D = b²−4ac شمار کیا جاتا ہے؛ اس کی علامت طے کرتی ہے کہ مربع جذر حقیقی ہے یا خیالی۔ رأس (−b/2a, f(−b/2a)) ہے اور محورِ تماثل x = −b/2a ہے۔ y-محور پر نقطۂ تقاطع ہمیشہ c ہوتا ہے، اور حقیقی x-نقاطِ تقاطع صرف اس وقت بتائے جاتے ہیں جب D ≥ 0 ہو۔
ترجمے یا حساب میں کوئی بات نظر آئی، یا کوئی تجویز ہے؟ ہمیں بتائیں۔