n میں سے r اشیاء چنیں اور دیکھیں کتنے طریقے ممکن ہیں — ترتیب کے ساتھ (پرمیوٹیشن) یا ترتیب کے بغیر (کمبی نیشن)، تکرار کے ساتھ اور بغیر تکرار — نیز فیکٹوریل طریقہ کار اور پاسکل مثلث۔
nPr = n! / (n − r)! = 5! / 2! = 60
nCr = n! / (r!·(n − r)!) = 10
پرمیوٹیشن ان ترتیبوں کو شمار کرتا ہے جہاں ترتیب اہم ہو: nPr = n!/(n − r)!۔ کمبی نیشن ان انتخابوں کو شمار کرتا ہے جہاں ترتیب غیر اہم ہو، اس لیے ہر گروپ کی r! ترتیبوں سے تقسیم کی جاتی ہے: nCr = n!/(r!·(n − r)!)۔ اس طرح nCr ہمیشہ nPr کو r! سے تقسیم کرنے سے ملتا ہے۔
جب اشیاء ایک سے زیادہ بار منتخب کی جا سکتی ہیں، تو تکرار سمیت پرمیوٹیشن بس nʳ ہے، اور تکرار سمیت کمبی نیشن C(n + r − 1, r) ہے۔ nCr کی قدریں بالکل پاسکل مثلث کے اعداد ہیں: قطار n، مقام r۔
پرمیوٹیشن اس وقت استعمال کریں جب منتخب اشیاء کی ترتیب اہم ہو — ریس کا پوڈیم، پن کوڈ، درجہ بندی کی فہرست۔ کمبی نیشن اس وقت استعمال کریں جب صرف گروپ اہم ہو، اس کی ترتیب نہیں — لاٹری ڈرا، کمیٹی، تاش کا ہاتھ۔
تکرار کے ساتھ، ایک ہی شے کو ایک سے زیادہ بار منتخب کیا جا سکتا ہے — جیسے 4-ہندسی کوڈ جس میں ہندسے دوہرائے جا سکتے ہیں۔ بغیر تکرار کے ہر شے زیادہ سے زیادہ ایک بار استعمال ہوتی ہے، جیسے الگ تاش بانٹنا۔
پاسکل مثلث کا ہر اندراج ایک کمبی نیشن ہے: قطار n، مقام r کی قدر بالکل nCr ہوتی ہے۔ ہر عدد اپنے اوپر کے دو اعداد کا مجموع ہے، جو nCr = (n−1)C(r−1) + (n−1)Cr کی مساوات کو ظاہر کرتا ہے۔
یہ کیلکولیٹر بیک وقت چاروں کلاسیکی شمار کی قدریں نکالتا ہے: ترتیب کے ساتھ بغیر تکرار (nPr)، ترتیب کے بغیر بغیر تکرار (nCr)، ترتیب کے ساتھ تکرار سمیت (nʳ)، اور ترتیب کے بغیر تکرار سمیت۔ مجموعے کا حجم n اور نمونے کا حجم r داخل کریں اور فوری نتیجہ پائیں۔
نمایاں عدد nCr ہے — یعنی n میں سے r اشیاء بغیر ترتیب کے منتخب کرنے کے طریقوں کی تعداد۔ اس کے نیچے nPr (ترتیب اہم، بغیر تکرار)، nʳ (ترتیب اہم، تکرار جائز)، اور تکرار سمیت تواز کی تعداد بھی درج ہے۔ مرحلہ وار تفصیل nPr اور nCr کے فیکٹوریل پھیلاؤ کو دکھاتی ہے، اور پاسکل مثلث کا پینل آپ کی nCr قدر کی عین جگہ کو نمایاں کرتا ہے۔
5 اشیاء کے مجموعے سے 3 اشیاء منتخب کریں (مثلاً 5 ٹاپنگز کی فہرست سے 3 کا انتخاب)۔
nPr = 60 ترتیب شدہ ترکیبیں؛ nCr = 10 غیر ترتیب شدہ انتخاب؛ تکرار سمیت: 125 ترتیب شدہ اور 35 غیر ترتیب شدہ۔
تبادل ان ترتیبوں کو شمار کرتا ہے جہاں ترتیب اہم ہو — ABC اور BAC دو مختلف نتائج ہیں۔ توافق ان انتخابوں کو شمار کرتا ہے جہاں ترتیب غیر اہم ہو — ABC اور BAC ایک ہی نتیجہ ہیں۔ تبادل رینکنگ اور تسلسل کے لیے، اور توافق کمیٹیوں اور ٹیموں کے لیے استعمال کریں۔
تکرار والی صورتیں اس وقت استعمال کریں جب کوئی چیز ایک سے زیادہ بار منتخب ہو سکے — جیسے پاس ورڈ کے لیے ہندسوں کا انتخاب یا وہ ذائقے جن کی تکرار ممکن ہو۔ nʳ ترتیب شدہ تکراری انتخاب کو، اور C(n+r−1, r) غیر ترتیب شدہ تکراری انتخاب کو ظاہر کرتا ہے۔
170 وہ سب سے بڑا عدد صحیح ہے جس کا فیکٹوریل 64-بٹ فلوٹنگ پوائنٹ میں سما سکتا ہے (170! ≈ 7.3 × 10³⁰⁶)۔ اس سے آگے جاوا اسکرپٹ کا Number قسم Infinity میں بدل جاتا ہے۔ کیلکولیٹر مکمل فیکٹوریل کی بجائے ضربی فارمولا استعمال کرتا ہے تاکہ نتائج درست رہیں۔
بغیر تکرار تبادل nPr = n! / (n − r)! استعمال کرتا ہے، جو n × (n−1) × … × (n−r+1) کے ضرب کے طور پر حساب ہوتا ہے تاکہ اوور فلو سے بچا جائے۔ بغیر تکرار توافق nCr = n! / (r!(n−r)!) استعمال کرتا ہے، جو ہم آہنگ ضربی فارمولا ∏(n−k+i)/i از i=1 تا k سے حاصل ہوتا ہے جہاں k = min(r, n−r)۔ ترتیب شدہ تکراری انتخاب بس nʳ ہے۔ غیر ترتیب شدہ تکراری انتخاب ملٹی سیٹ فارمولا C(n+r−1, r) استعمال کرتا ہے، جو بھی ضربی طریقے سے حساب ہوتا ہے۔
ترجمے یا حساب میں کوئی بات نظر آئی، یا کوئی تجویز ہے؟ ہمیں بتائیں۔