ہندسی سلسلے کے مجموعے کا حساب کار
پہلی رقم a، مشترک نسبت r اور حدوں کی تعداد n درج کریں تاکہ n-واں حد، جزوی مجموعہ Sₙ اور لامحدودیت کا مجموعہ (جب |r| < 1) حل کے مراحل کے ساتھ حاصل ہو۔
- n-واں حد aₙ
- 512
- لامحدود تک مجموعہ
- واگرا ہے
کیلکولیٹر
مرحلہ وار حل
n-واں حد: aₙ = a·rⁿ⁻¹ = 1·(2)^9 = 512
جزوی مجموعہ: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) = 1·(1 − (2)^10)/(1 − 2) = 1,023
لامحدود تک مجموعہ: |r| = 2 ≥ 1 کے ساتھ سلسلہ واگرا ہے، لہذا S∞ غیر متعین ہے۔
اس کیلکولیٹر کے بارے میں
یہ حساب کار ہندسی سلسلے کے ساتھ کام کرتا ہے — ایک ایسی ترتیب جہاں ہر حد پچھلی حد کو ایک مقررہ مشترک نسبت r سے ضرب دے کر حاصل ہوتی ہے، پہلی رقم a سے شروع ہو کر۔ a، r اور حدوں کی تعداد n درج کریں تاکہ فوری طور پر n-واں حد aₙ، پہلے n حدوں کا جزوی مجموعہ Sₙ، اور جب سلسلہ قابو پاتا ہو تو لامحدود مجموعہ S∞ ملے۔
اپنے نتائج کیسے پڑھیں
نتیجے کا کارڈ اوپر پہلے n حدوں کا جزوی مجموعہ Sₙ دکھاتا ہے۔ اس کے نیچے n-واں (آخری) حد aₙ = a·rⁿ⁻¹ اور لامحدود مجموعہ ہے۔ لامحدود مجموعہ ایک محدود عدد صرف اس وقت ہوتا ہے جب |r| < 1، کیونکہ یہی شرط ہے کہ حدیں کافی تیزی سے صفر کی طرف سکڑیں؛ اگر |r| ≥ 1 ہو تو سلسلہ واگرا ہوتا ہے اور حساب کار گمراہ کن عدد چھاپنے کی بجائے یہ بتاتا ہے۔ نیچے کا مرحلہ وار حل آپ کی قدریں ہر بند فارمولے میں ڈالتا ہے تاکہ آپ ہر قدم کی پیروی کر سکیں۔
حساب کا طریقہ
n-واں حد بند فارمولے aₙ = a·rⁿ⁻¹ سے حاصل کیا جاتا ہے۔ جزوی مجموعہ r ≠ 1 کے لیے Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) استعمال کرتا ہے، اور صفر سے تقسیم سے بچنے کے لیے r = 1 پر Sₙ = n·a پر واپس آتا ہے۔ لامحدود مجموعہ S∞ = a/(1 − r) صرف |r| < 1 پر رپورٹ کیا جاتا ہے؛ ورنہ حساب کار قدر چھاپنے کی بجائے سلسلے کے واگرا ہونے کا اعلان کرتا ہے۔
عملی مثال
a = 1، r = 2، n = 10 درج کریں (سلسلہ 1 + 2 + 4 + … + 512)۔
n-واں حد a₁₀ = 1·2⁹ = 512 ہے اور جزوی مجموعہ S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023 ہے۔ چونکہ |r| = 2 ≥ 1، سلسلہ واگرا ہے، اس لیے لامحدود مجموعہ نہیں ہے۔ r = 0.5 پر تبدیل کریں اور لامحدود مجموعہ a/(1 − r) = 1/0.5 = 2 بن جاتا ہے۔
اکثر پوچھے گئے سوالات
ہندسی سلسلے کا لامحدود مجموعہ کب ہوتا ہے؟
ہندسی سلسلہ صرف اس وقت محدود لامحدود مجموعے پر قابو پاتا ہے جب مشترک نسبت |r| < 1 ہو۔ اس صورت میں S∞ = a/(1 − r)۔ جب |r| ≥ 1 ہو — بشمول r = 1 اور r = −1 — حدیں صفر کی طرف نہیں جاتیں، جزوی مجموعے بڑھتے یا ڈولتے رہتے ہیں، اور کوئی محدود کل نہیں ہوتا، لہذا سلسلے کو واگرا کہا جاتا ہے۔
n-واں حد اور جزوی مجموعے میں کیا فرق ہے؟
n-واں حد aₙ = a·rⁿ⁻¹ ایک واحد حد کی قدر ہے — ترتیب میں n-واں اندراج۔ جزوی مجموعہ Sₙ پہلے n حدوں کو آپس میں جوڑتا ہے: r ≠ 1 کے لیے Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r)، یا r = 1 پر n·a۔ تو aₙ فہرست سے ایک عدد ہے، جبکہ Sₙ اس نقطے تک کا رننگ ٹوٹل ہے۔
کیا پہلی رقم یا مشترک نسبت منفی ہو سکتی ہے؟
جی ہاں۔ پہلی رقم a اور مشترک نسبت r کوئی بھی محدود اعداد ہو سکتے ہیں، بشمول منفی اور کسر۔ منفی نسبت حدوں کو اشارے میں ردوبدل کرتی ہے (مثلاً 1، −2، 4، −8…)۔ بند فارمولے ہر حالت کو سنبھالتے ہیں؛ محدود لامحدود مجموعے کے لیے واحد شرط ابھی بھی |r| < 1 ہے۔
r = 1 پر فارمولہ کیوں بدلتا ہے؟
عام جزوی مجموعے کا فارمولہ Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) تقسیم کرتا ہے (1 − r) پر، جو r = 1 پر صفر ہے۔ اس صورت میں ہر حد a کے برابر ہے، لہذا مجموعہ a کی n کاپیاں ہے: Sₙ = n·a۔ حساب کار r = 1 کا پتہ لگاتا ہے اور یہ خاص حالت خود بخود استعمال کرتا ہے۔
ذرائع
YouCalc ٹیم نے جائزہ لیا · آخری جائزہ
ترجمے یا حساب میں کوئی بات نظر آئی، یا کوئی تجویز ہے؟ ہمیں بتائیں۔