Переведите значение в z-оценку и считайте вероятность и процентиль, найдите шанс попасть между двумя значениями или восстановите исходное значение по процентилю — с заштрихованной кривой.
Z-оценка
2
Процентиль
97,72%
Калькулятор
Z-оценка
2
x = 130 отстоит на 2 стандартных отклонений от среднего.
P(X < x) — слева
0,9772
P(X > x) — справа
0,0228
Двусторонняя P(|Z| > |z|)
0,0455
Как работают z-оценки и нормальная кривая
Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего: z = (x − μ) / σ. Стандартная нормальная кривая затем превращает этот z в вероятность. Площадь слева от z, Φ(z), — это шанс оказаться ниже x; площадь справа равна 1 − Φ(z); двусторонняя площадь — это шанс отклониться от среднего не менее чем на |z| в любую сторону.
В обратном направлении процентиль переводится в z-оценку с помощью обратной нормальной функции Φ⁻¹, а затем в исходное значение по формуле x = μ + z·σ. Заштрихованная область под кривой точно показывает, какую вероятность вы считываете.
Какая z-оценка хорошая, а какая плохая?
Z-оценка сама по себе не бывает хорошей или плохой — она лишь говорит, насколько необычно значение. Примерно 68 % значений попадают в пределах ±1, 95 % — в пределах ±2 и 99,7 % — в пределах ±3 стандартных отклонений от среднего.
Когда использовать двустороннюю вероятность?
Используйте её, когда важно отклонение от среднего в любую сторону — например, в двусторонней проверке гипотез. Для z = 1,96 двусторонняя вероятность составляет около 0,05, что лежит в основе 95 % уровня доверия.
Насколько точны вероятности?
Кумулятивная вероятность использует стандартную аппроксимацию функции ошибок с точностью около семи знаков после запятой, а обратная — рациональную аппроксимацию с точностью примерно до девяти — намного выше, чем дают печатные таблицы z.
Результаты являются оценочными. Для важных решений проконсультируйтесь со специалистом.
Об этом калькуляторе
Этот калькулятор переводит необработанное значение в z-оценку и показывает, как оно соотносится с остальными значениями нормально распределённой совокупности. Используйте его, чтобы найти вероятность того, что результат окажется ниже, выше или между двумя значениями, прочитать процентильный ранг или обратно вычислить значение по целевому процентилю.
Как читать результаты
Главное число — это z-оценка: она показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. В строке статистик также отображается соответствующий процентиль. Ниже полей ввода закрашенная нормальная кривая выделяет область интереса — закрашивание слева для одного значения, центральное закрашивание для двух значений. Карточка результата содержит вероятности левого хвоста, правого хвоста и двусторонние, чтобы вы могли выбрать нужную.
Пример расчёта
Показатель IQ равен 130 при среднем 100 и стандартном отклонении 15.
Z-оценка равна 2,00. Вероятность левого хвоста составляет 0,9772: 97,72 % популяции имеют результат ниже 130. Вероятность правого хвоста равна 0,0228, двусторонняя — 0,0455.
Частые вопросы
Что говорит мне z-оценка?
Z-оценка измеряет отклонение от среднего в единицах стандартного отклонения. Z = 0 означает, что значение равно среднему; z = 1 — оно на одно стандартное отклонение выше; z = −1 — на одно стандартное отклонение ниже. Это позволяет сравнивать значения из разных распределений в единой шкале.
Когда использовать вероятность левого хвоста, правого хвоста или двустороннюю?
Используйте левый хвост, когда нужно ответить на вопрос «какая доля совокупности имеет значение меньше X?» Правый хвост — для «какая доля имеет значение больше X?» Двустороннюю вероятность применяйте, когда проверяете, является ли значение нетипичным в любом направлении — например, в гипотетическом тесте без заранее заданного направления.
Предполагает ли калькулятор нормальное распределение?
Да. Все вероятности и процентили вычисляются в предположении идеальной стандартной нормальной кривой. Для реальных данных с сильной асимметрией или длинными хвостами результаты будут приблизительными, и более подходящим может оказаться инструмент, специализированный под конкретное распределение.
Как выполняется расчёт
Формула z-оценки: z = (x − μ) / σ, где x — наблюдаемое значение, μ — среднее генеральной совокупности, σ — стандартное отклонение. Кумулятивные вероятности получаются из CDF стандартного нормального распределения Φ(z), вычисляемой по аппроксимации erf Абрамовица и Стегана (формула 7.1.26, максимальная погрешность ~1,5 × 10⁻⁷). Обратная CDF Φ⁻¹(p) использует рациональную аппроксимацию Акклама для перевода процентиля в z-оценку. Исходное значение восстанавливается как x = μ + z·σ.
Заметили неточность в переводе или расчёте, или есть предложение? Напишите нам.