Выберите r элементов из n и узнайте, сколькими способами это можно сделать — упорядоченно (перестановки) или без учёта порядка (сочетания), с повторениями и без — плюс разложение факториалов и треугольник Паскаля.
nPr = n! / (n − r)! = 5! / 2! = 60
nCr = n! / (r!·(n − r)!) = 10
Перестановка считает варианты, в которых порядок важен: nPr = n!/(n − r)!. Сочетание считает варианты, в которых порядок не важен: делится на r! перестановок каждой группы: nCr = n!/(r!·(n − r)!). Таким образом, nCr — это всегда nPr, делённое на r!.
Когда элементы можно выбирать повторно, перестановки с повторениями равны просто nʳ, а сочетания с повторениями — C(n + r − 1, r). Значения nCr — это в точности числа треугольника Паскаля: строка n, позиция r.
Используйте перестановку, когда порядок выбранных элементов важен — пьедестал гонки, PIN-код, ранжированный список. Используйте сочетание, когда важна лишь группа, а не её порядок — лотерейный тираж, комитет, карточная рука.
С повторениями один и тот же элемент можно выбирать несколько раз — например, 4-значный код, где цифры могут повторяться. Без повторений каждый элемент используется не более одного раза, как при раздаче различных карт.
Каждый элемент треугольника Паскаля является сочетанием: значение в строке n, позиции r — это в точности nCr. Каждое число равно сумме двух стоящих над ним, что отражает тождество nCr = (n−1)C(r−1) + (n−1)Cr.
Этот калькулятор вычисляет все четыре классических значения комбинаторики сразу: упорядоченные выборки без повторений (nPr), неупорядоченные выборки без повторений (nCr), упорядоченные выборки с повторениями (nʳ) и неупорядоченные выборки с повторениями. Введите размер множества n и объём выборки r — и получите все результаты мгновенно.
Главное число — nCr, то есть количество способов выбрать r элементов из n, когда порядок не важен. Ниже также отображаются nPr (порядок важен, без повторений), nʳ (порядок важен, повторения разрешены) и число сочетаний с повторениями. Пошаговое разложение показывает факториальное раскрытие для nPr и nCr, а панель с треугольником Паскаля отмечает именно ту ячейку, в которой находится ваше значение nCr.
Выберите 3 элемента из 5 (например, 3 топпинга из меню из 5 позиций).
nPr = 60 упорядоченных вариантов; nCr = 10 неупорядоченных выборок; с повторениями: 125 упорядоченных и 35 неупорядоченных.
Перестановка считает варианты, в которых порядок важен — ABC и BAC это два разных результата. Сочетание считает варианты, в которых порядок не важен — ABC и BAC это один и тот же результат. На практике используйте перестановки для рейтингов и последовательностей, а сочетания — для комитетов, команд или подмножеств.
Используйте подсчёт с повторениями, когда один и тот же элемент можно выбрать несколько раз — например, при составлении PIN-кода или выборе вкусов, если допускаются повторы. Формула nʳ охватывает упорядоченные выборки с повторениями; C(n+r−1, r) охватывает неупорядоченные выборки с повторениями.
170 — наибольшее целое число, факториал которого умещается в 64-битном числе с плавающей точкой (170! ≈ 7,3 × 10³⁰⁶). При больших значениях тип Number в JavaScript переполняется до Infinity. Калькулятор использует мультипликативную формулу вместо вычисления полных факториалов, что обеспечивает точные результаты вплоть до предела безопасных целых чисел JavaScript.
Перестановки без повторений используют nPr = n! / (n − r)!, вычисляемые мультипликативно как произведение n × (n−1) × … × (n−r+1), чтобы избежать переполнения. Сочетания без повторений используют nCr = n! / (r!(n−r)!), вычисляемые по симметричной мультипликативной формуле ∏(n−k+i)/i при i = 1..k, где k = min(r, n−r). Упорядоченные выборки с повторениями — просто nʳ. Неупорядоченные выборки с повторениями применяют формулу мультимножества C(n+r−1, r), также вычисляемую мультипликативно.
Заметили неточность в переводе или расчёте, или есть предложение? Напишите нам.