Калькулятор экспоненциального роста и распада

Об этом калькуляторе

Этот калькулятор моделирует экспоненциальный рост и распад с помощью дискретной формулы N₀·(1 + r)^t или непрерывной формулы N₀·e^{kt}. Используйте его для прогнозирования роста населения, радиоактивного распада, сложных процентных доходов, распространения вирусов или любой величины, которая умножается на постоянный множитель каждый период.

Как читать результаты

Главное число — это вычисленное значение в введённый вами момент времени. Ниже карточка результата показывает множитель за период (основание), время удвоения при росте или период полураспада при затухании, а также чистое изменение относительно начальной величины. Линейный график строит кривую от t = 0 до выбранного времени, чтобы вы видели, насколько стремительно величина возрастает или убывает.

Как выполняется расчёт

Для дискретной модели значение в момент времени t равно N(t) = N₀·(1 + r)^t, где N₀ — начальная величина, r — ставка за период. Для непрерывной модели это N(t) = N₀·e^{kt}, где k — константа непрерывного роста. Оба варианта сводятся к единой форме N₀·b^t с основанием b = (1 + r) или b = e^k. Время удвоения и период полураспада выводятся из условия b^T = 2 (или ½), что даёт T = ln(2) / ln(b).

Пример расчёта

Начните с 500 и применяйте дискретную ставку роста 8% за период в течение 12 периодов.

Конечное значение составит около 1 259 — при базовом множителе 1,08 за период и времени удвоения около 9 периодов. Величина выросла с 500 более чем вдвое всего за 12 шагов.

Частые вопросы

Когда использовать непрерывную модель вместо дискретной?

Используйте непрерывную модель, когда рост или распад происходит без перерывов — например, радиоактивный распад, рост бактерий в идеальных условиях или непрерывно начисляемые финансовые доходы. Дискретную модель применяйте, когда изменения происходят отдельными шагами — например, ежегодные переписи населения или доходность инвестиций по периодам.

Что такое время удвоения и как оно рассчитывается?

Время удвоения — это количество периодов, необходимых для удвоения величины. Для дискретной модели оно равно ln(2) / ln(1 + r), для непрерывной — ln(2) / k. Чем выше темп роста, тем короче время удвоения — при 10% за период величина удваивается примерно за 7,3 периода.

Можно ли использовать калькулятор для распада, и что такое период полураспада?

Да. Введите отрицательную ставку в любой из моделей, и калькулятор переключится в режим распада. Период полураспада — это время, за которое величина уменьшается вдвое. Он рассчитывается так же, как время удвоения, но с модулем ставки: ln(2) / |k| для непрерывной модели или ln(2) / |ln(основание)| для дискретной.

Источники

• dlmf.nist.gov/4.2
• openstax.org/books/precalculus-2e/pages/6-7-exponential-and-logarithmic-models
• www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:exponential-growth-decay

Проверено командой YouCalc · Последнее обновление 11 июня 2026 г.