Прогнозируйте величину, которая растёт или убывает экспоненциально — население, инвестиции, бактерии или распадающийся изотоп — и получайте значение в любой момент времени, время удвоения или период полураспада, а также кривую.
Значение при t
1 628,89
Удвоение / полураспад
14,207
Калькулятор
Значение при t = 10
1 628,89
Рост — умножается на 1,05 каждый период.
Множитель за период
1,05
Время удвоения
14,207
Общее изменение
628,89
Как работают экспоненциальный рост и распад
Величина изменяется экспоненциально, когда каждый период умножается на один и тот же множитель. Дискретная модель использует N(t) = N₀·(1 + r)^t, где r — ставка роста за период (отрицательная для распада). Непрерывная модель использует N(t) = N₀·e^{kt}, где k — мгновенная ставка — естественный выбор для процессов с непрерывным начислением, например радиоактивного распада.
Когда величина растёт, время удвоения ln(2)/ln(основание) — это время, за которое она удвоится, независимо от начального значения. Когда убывает, период полураспада ln(2)/|ln(основание)| — это время, за которое она уменьшится вдвое. Оба значения постоянны при фиксированной ставке — это и есть признак экспоненциального изменения.
В чём разница между дискретной и непрерывной моделью?
Дискретный рост применяет ставку один раз за период (подходит для годовых процентов или ежегодных данных о населении). Непрерывный рост начисляется в каждый момент времени через e^{kt} (подходит для радиоактивного распада или непрерывно начисляемых процентов). При одинаковой номинальной ставке непрерывная модель растёт немного быстрее.
Как смоделировать распад?
Введите отрицательную ставку. Дискретная ставка −10% даёт множитель за период 0,9; непрерывная ставка −0,1 даёт e^−0.1. Калькулятор тогда покажет период полураспада вместо времени удвоения.
Почему время удвоения постоянно?
Потому что при экспоненциальном изменении каждый период умножается на один и тот же множитель, время роста от любого значения до его удвоения всегда одинаково. Это фиксированное время удвоения (или период полураспада) и отличает экспоненциальное изменение от линейного.
Кривая
График экспоненциальной кривой от t = 0 с отмеченным значением в выбранный момент времени.
Show data table
Время (t)
Значение при t
0
1 000
0,25
1 012,27
0,5
1 024,7
0,75
1 037,27
1
1 050
1,25
1 062,89
1,5
1 075,93
1,75
1 089,13
2
1 102,5
2,25
1 116,03
2,5
1 129,73
2,75
1 143,59
3
1 157,63
3,25
1 171,83
3,5
1 186,21
3,75
1 200,77
4
1 215,51
4,25
1 230,42
4,5
1 245,52
4,75
1 260,81
5
1 276,28
5,25
1 291,94
5,5
1 307,8
5,75
1 323,85
6
1 340,1
6,25
1 356,54
6,5
1 373,19
6,75
1 390,04
7
1 407,1
7,25
1 424,37
7,5
1 441,85
7,75
1 459,54
8
1 477,46
8,25
1 495,59
8,5
1 513,94
8,75
1 532,52
9
1 551,33
9,25
1 570,37
9,5
1 589,64
9,75
1 609,15
10
1 628,89
Результаты являются оценочными. Для важных решений проконсультируйтесь со специалистом.
Об этом калькуляторе
Этот калькулятор моделирует экспоненциальный рост и распад с помощью дискретной формулы N₀·(1 + r)^t или непрерывной формулы N₀·e^{kt}. Используйте его для прогнозирования роста населения, радиоактивного распада, сложных процентных доходов, распространения вирусов или любой величины, которая умножается на постоянный множитель каждый период.
Как читать результаты
Главное число — это вычисленное значение в введённый вами момент времени. Ниже карточка результата показывает множитель за период (основание), время удвоения при росте или период полураспада при затухании, а также чистое изменение относительно начальной величины. Линейный график строит кривую от t = 0 до выбранного времени, чтобы вы видели, насколько стремительно величина возрастает или убывает.
Пример расчёта
Начните с 500 и применяйте дискретную ставку роста 8% за период в течение 12 периодов.
Конечное значение составит около 1 259 — при базовом множителе 1,08 за период и времени удвоения около 9 периодов. Величина выросла с 500 более чем вдвое всего за 12 шагов.
Частые вопросы
Когда использовать непрерывную модель вместо дискретной?
Используйте непрерывную модель, когда рост или распад происходит без перерывов — например, радиоактивный распад, рост бактерий в идеальных условиях или непрерывно начисляемые финансовые доходы. Дискретную модель применяйте, когда изменения происходят отдельными шагами — например, ежегодные переписи населения или доходность инвестиций по периодам.
Что такое время удвоения и как оно рассчитывается?
Время удвоения — это количество периодов, необходимых для удвоения величины. Для дискретной модели оно равно ln(2) / ln(1 + r), для непрерывной — ln(2) / k. Чем выше темп роста, тем короче время удвоения — при 10% за период величина удваивается примерно за 7,3 периода.
Можно ли использовать калькулятор для распада, и что такое период полураспада?
Да. Введите отрицательную ставку в любой из моделей, и калькулятор переключится в режим распада. Период полураспада — это время, за которое величина уменьшается вдвое. Он рассчитывается так же, как время удвоения, но с модулем ставки: ln(2) / |k| для непрерывной модели или ln(2) / |ln(основание)| для дискретной.
Как выполняется расчёт
Для дискретной модели значение в момент времени t равно N(t) = N₀·(1 + r)^t, где N₀ — начальная величина, r — ставка за период. Для непрерывной модели это N(t) = N₀·e^{kt}, где k — константа непрерывного роста. Оба варианта сводятся к единой форме N₀·b^t с основанием b = (1 + r) или b = e^k. Время удвоения и период полураспада выводятся из условия b^T = 2 (или ½), что даёт T = ln(2) / ln(b).
Заметили неточность в переводе или расчёте, или есть предложение? Напишите нам.