Resolvedor de sistemas de equações

Sobre esta calculadora

Esta calculadora resolve um sistema de equações lineares 2x2 ou 3x3 e indica se ele tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Use-a para verificar exercícios, conferir cálculos feitos à mão ou explorar como a mudança de um coeficiente altera a interseção de retas ou planos.

Como ler seus resultados

O cartão de resultado exibe a solução exata (x, y e opcionalmente z) ou a classificação do sistema — única, nenhuma ou infinita. Abaixo do cartão, o resumo passo a passo apresenta o determinante da matriz de coeficientes e como cada variável é obtida pela regra de Cramer. Para sistemas 2x2, um gráfico no plano cartesiano traça as duas retas para que você visualize a interseção de imediato.

Como é calculado

O solucionador extrai a matriz de coeficientes n x n A e o vetor de constantes b das linhas de entrada. Ele calcula det(A) por expansão de cofatores (os numeradores de Cramer são obtidos substituindo cada coluna de A por b). A classificação é determinada comparando o posto de A com o da matriz aumentada [A|b] por eliminação gaussiana com pivotamento parcial: posto(A) = posto([A|b]) = n implica solução única; posto(A) = posto([A|b]) < n implica infinitas soluções; posto(A) < posto([A|b]) implica sistema incompatível. Fontes: Wolfram MathWorld; Khan Academy.

Exemplo prático

Insira o sistema 2x2: equação 1 — x + y = 5, equação 2 — x - y = 1 (coeficientes 1, 1, 5 e 1, -1, 1).

O determinante da matriz de coeficientes é -2. A regra de Cramer fornece x = -6 / -2 = 3 e y = -4 / -2 = 2, portanto a solução única é x = 3, y = 2. O gráfico mostra as duas retas se cruzando em (3, 2).

Perguntas frequentes

O que significa o determinante ser zero?

Um determinante nulo indica que as equações não são independentes. A calculadora verifica então a matriz aumentada: se o seu posto coincide com o da matriz de coeficientes, as retas (ou planos) são coincidentes e há infinitas soluções; se os postos diferem, o sistema é incompatível e não tem solução.

O que é a regra de Cramer e quando ela se aplica?

A regra de Cramer expressa cada variável como uma razão de determinantes — o numerador substitui a coluna da variável na matriz de coeficientes pelos termos independentes, e o denominador é o determinante da matriz de coeficientes. Ela se aplica apenas quando esse determinante é não nulo, ou seja, quando o sistema tem exatamente uma solução.

Posso resolver um sistema com coeficientes decimais ou fracionários?

Sim. Cada célula de coeficiente aceita qualquer número decimal finito. O solucionador trabalha em aritmética de ponto flutuante de dupla precisão com uma pequena tolerância para pivôs próximos de zero, produzindo resultados precisos para exercícios comuns e sistemas de engenharia bem condicionados.

Fontes

• mathworld.wolfram.com/LinearSystemofEquations.html
• www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:systems-of-equations/x2f8bb11595b61c86:solving-systems-elimination/a/elimination-method-review

Revisado pela Equipa YouCalc · Última revisão11 de junho de 2026