Escolha r itens de n e veja quantas formas existem — ordenadas (permutações) ou não ordenadas (combinações), com e sem repetição — mais o desenvolvimento fatorial e o triângulo de Pascal.
nPr
60
nCr
10
Calculadora
Combinações nCr
10
Escolhendo 3 de 5.
Permutações nPr (ordenadas)
60
Permutações com repetição (nʳ)
125
Combinações com repetição
35
Desenvolvimento
nPr = n! / (n − r)! = 5! / 2! = 60
nCr = n! / (r!·(n − r)!) = 10
Triângulo de Pascal (linha n = 5)
1
11
121
1331
14641
15101051
Permutações vs combinações
Uma permutação conta os arranjos onde a ordem importa: nPr = n!/(n − r)!. Uma combinação conta as seleções onde a ordem não importa, dividindo as r! ordenações de cada grupo: nCr = n!/(r!·(n − r)!). Portanto, nCr é sempre nPr dividido por r!.
Quando os itens podem ser escolhidos mais de uma vez, as permutações com repetição são simplesmente nʳ, e as combinações com repetição são C(n + r − 1, r). Os valores de nCr são exatamente os números do triângulo de Pascal: linha n, posição r.
Quando usar uma permutação e quando usar uma combinação?
Use uma permutação quando a ordem dos itens escolhidos importa — um pódio de corrida, um PIN, uma lista classificada. Use uma combinação quando apenas o grupo importa, não sua ordem — um sorteio de loteria, um comitê, uma mão de cartas.
O que significa 'com repetição'?
Com repetição, o mesmo item pode ser selecionado mais de uma vez — como um código de 4 dígitos onde os dígitos podem se repetir. Sem repetição, cada item é usado no máximo uma vez, como distribuir cartas distintas.
Como isso se relaciona com o triângulo de Pascal?
Cada entrada no triângulo de Pascal é uma combinação: o valor na linha n, posição r é exatamente nCr. Cada número é a soma dos dois acima dele, o que reflete a identidade nCr = (n−1)C(r−1) + (n−1)Cr.
Os resultados são estimativas. Confirme com um profissional para decisões importantes.
Sobre esta calculadora
Esta calculadora obtém os quatro valores clássicos de contagem de uma vez: seleções ordenadas sem repetição (nPr), seleções não ordenadas sem repetição (nCr), seleções ordenadas com repetição (nʳ) e seleções não ordenadas com repetição. Insira o tamanho do conjunto n e o tamanho da amostra r para ver todos os resultados imediatamente.
Como ler seus resultados
O número em destaque é nCr — a quantidade de formas de escolher r elementos de n quando a ordem não importa. Abaixo você também encontra nPr (a ordem importa, sem repetição), nʳ (a ordem importa, com repetição permitida) e o número de combinações com repetição. O detalhamento passo a passo mostra a expansão fatorial de nPr e nCr, e o painel do triângulo de Pascal destaca exatamente onde o seu valor nCr se encontra.
Exemplo prático
Escolha 3 itens de um conjunto de 5 (por exemplo, 3 coberturas de um cardápio com 5 opções).
nPr = 60 arranjos ordenados; nCr = 10 seleções não ordenadas; com repetição: 125 ordenadas e 35 não ordenadas.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre uma permutação e uma combinação?
Uma permutação conta os arranjos em que a ordem importa — ABC e BAC são dois resultados distintos. Uma combinação conta as seleções em que a ordem não importa — ABC e BAC são o mesmo resultado. Na prática, use permutações para classificações e sequências, e combinações para comissões, equipes ou subconjuntos.
Quando devo usar as variantes com repetição?
Use a contagem com repetição quando um item pode ser escolhido mais de uma vez — por exemplo, ao criar um PIN ou escolher sabores permitindo repetições. A fórmula nʳ cobre as seleções ordenadas com repetição; C(n+r−1, r) cobre as seleções não ordenadas com repetição.
Por que a calculadora limita n a 170?
170 é o maior inteiro cujo fatorial cabe em um número de ponto flutuante de 64 bits (170! ≈ 7,3 × 10³⁰⁶). Além disso, o tipo Number do JavaScript transborda para Infinity. A calculadora usa a fórmula multiplicativa em vez de calcular fatoriais completos, garantindo resultados precisos até o limite de inteiros seguros do JavaScript.
Como é calculado
As permutações sem repetição usam nPr = n! / (n − r)!, calculadas multiplicativamente como o produto n × (n−1) × … × (n−r+1) para evitar transbordamento. As combinações sem repetição usam nCr = n! / (r!(n−r)!), calculadas com a fórmula multiplicativa simétrica ∏(n−k+i)/i para i = 1..k onde k = min(r, n−r). As seleções ordenadas com repetição são simplesmente nʳ. As seleções não ordenadas com repetição aplicam a fórmula do multiconjunto C(n+r−1, r), também calculada multiplicativamente.
Notou algo na tradução, no cálculo, ou quer fazer uma sugestão? Conte para a gente.