Décomposez un nombre en ses facteurs premiers avec un arbre de facteurs interactif et sa forme exponentielle. Ajoutez un deuxième nombre pour trouver le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple.
Facteurs premiers
2^3 × 3^2 × 5
Nombre de facteurs
6
Calculateur
Factorisation première
2^3 × 3^2 × 5
360 se décompose en 6 facteurs premiers.
Factorisation
2^3 × 3^2 × 5
Arbre de facteurs
Comment fonctionne la factorisation première
Tout entier supérieur à 1 est soit premier, soit peut s'écrire comme un produit unique de nombres premiers — c'est le théorème fondamental de l'arithmétique. Le calculateur divise le nombre par le plus petit premier qui le divise, encore et encore, jusqu'à ce qu'il ne reste que 1. L'arbre de facteurs montre chaque division, et les premiers répétés sont regroupés en exposants.
Avec deux nombres, le plus grand commun diviseur est le produit des premiers qu'ils partagent (chacun à la puissance la plus petite), et le plus petit commun multiple est le produit de tous les premiers qui apparaissent (chacun à la puissance la plus grande). De manière équivalente, PGCD × PPCM = a × b.
Qu'est-ce qu'un arbre de facteurs ?
Un arbre de facteurs montre la décomposition pas à pas d'un nombre en facteurs premiers. À chaque étape le nombre est divisé en un facteur premier et ce qui reste, et les branches se terminent par des feuilles premières qui ne peuvent plus être divisées.
Comment obtient-on le PGCD et le PPCM à partir des facteurs ?
Alignez les décompositions premières des deux nombres. Le PGCD multiplie les premiers communs avec le plus petit exposant ; le PPCM multiplie tous les premiers qui apparaissent avec le plus grand exposant.
Jusqu'à quel nombre peut-il factoriser ?
Il factorise les entiers jusqu'à environ un billion par division par essais. Les très grands nombres avec deux grands facteurs premiers peuvent prendre un instant, mais les nombres ordinaires sont instantanés.
Les résultats sont des estimations. Vérifiez avec un professionnel pour les décisions importantes.
À propos de ce calculateur
Ce calculateur décompose n’importe quel entier en ses facteurs premiers, affiche un arbre de facteurs visuel et — lorsque vous entrez un deuxième nombre — calcule le plus grand commun diviseur (PGCD) et le plus petit commun multiple (PPCM) du couple. Utilisez-le pour simplifier des fractions, trouver des dénominateurs communs ou explorer la structure des nombres.
Comment lire vos résultats
Le résultat principal affiche la décomposition en facteurs premiers sous forme exponentielle (par exemple 2³ × 3² × 5 pour 360). Les cercles colorés de l’arbre de facteurs représentent les facteurs premiers ; les cercles ouverts sont les nœuds composés en cours de division. Le PGCD et le PPCM apparaissent sous l’arbre uniquement lorsque vous avez saisi un deuxième nombre.
Exemple concret
Entrez 360 comme premier nombre et 48 comme deuxième.
360 = 2³ × 3² × 5 et 48 = 2⁴ × 3. Les trois facteurs 2 et le facteur 3 communs donnent un PGCD de 24. Le PPCM est 720 — le plus petit entier divisible par les deux.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la décomposition en facteurs premiers ?
La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme produit de nombres premiers — des entiers divisibles seulement par 1 et par eux-mêmes. Le théorème fondamental de l’arithmétique garantit que chaque entier supérieur à 1 possède une décomposition unique (quel que soit l’ordre des facteurs).
Comment obtient-on le PGCD et le PPCM à partir des facteurs premiers ?
Le PGCD s’obtient en multipliant chaque facteur premier commun aux deux décompositions avec le plus petit exposant. Le PPCM utilise chaque facteur premier présent dans l’une ou l’autre décomposition avec le plus grand exposant. Pour 360 = 2³ × 3² × 5 et 48 = 2⁴ × 3 : PGCD = 2³ × 3 = 24, PPCM = 2⁴ × 3² × 5 = 720.
Que signifie un nombre identifié comme premier ?
Un nombre premier ne peut pas être décomposé davantage — il est lui-même son seul facteur premier. Les nombres premiers n’ont pas d’arbre de facteurs ; ce sont les atomes dont sont construits tous les autres entiers.
Méthode de calcul
La factorisation utilise la division par essais : le nombre est successivement divisé par 2, puis par les entiers impairs à partir de 3, jusqu’à sa racine carrée. Chaque diviseur trouvé est un facteur premier ; son exposant compte le nombre de divisions. Le PGCD est ensuite calculé par l’algorithme d’Euclide (en remplaçant à répétition la plus grande valeur par le reste de la division par la plus petite), et le PPCM est déduit de la formule PGCD × (a / PGCD) × b pour éviter le débordement avec de grands nombres.
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