Mathématiques

Calculateur de permutations et combinaisons

Choisissez r éléments parmi n et voyez combien de façons il y en a — ordonnées (permutations) ou non ordonnées (combinaisons), avec et sans répétition — ainsi que le développement factoriel et le triangle de Pascal.

nPr: 60
nCr: 10

Combinaisons nCr

Choisir 3 parmi 5.

Permutations nPr (ordonnées)

Permutations avec répétition (nʳ)

125

Combinaisons avec répétition

Calcul détaillé

nPr = n! / (n − r)! = 5! / 2! = 60

nCr = n! / (r!·(n − r)!) = 10

Triangle de Pascal (ligne n = 5)

121

1331

14641

15101051

Permutations vs combinaisons

Une permutation compte les arrangements où l'ordre compte : nPr = n!/(n − r)!. Une combinaison compte les sélections où l'ordre est indifférent, en divisant par les r! ordonnances de chaque groupe : nCr = n!/(r!·(n − r)!). nCr vaut donc toujours nPr divisé par r!.

Lorsque les éléments peuvent être choisis plusieurs fois, les permutations avec répétition valent simplement nʳ, et les combinaisons avec répétition sont C(n + r − 1, r). Les valeurs de nCr sont exactement les nombres du triangle de Pascal : ligne n, position r.

Quand utiliser une permutation plutôt qu'une combinaison ?

Utilisez une permutation quand l'ordre des éléments choisis compte — un podium de course, un code PIN, un classement. Utilisez une combinaison quand seul le groupe compte, pas son ordre — un tirage de loterie, un comité, une main de cartes.

Que signifie « avec répétition » ?

Avec répétition, le même élément peut être sélectionné plusieurs fois — comme un code à 4 chiffres où les chiffres peuvent se répéter. Sans répétition, chaque élément est utilisé au plus une fois, comme distribuer des cartes distinctes.

Quel est le lien avec le triangle de Pascal ?

Chaque entrée du triangle de Pascal est une combinaison : la valeur en ligne n, position r est exactement nCr. Chaque nombre est la somme des deux au-dessus, ce qui traduit l'identité nCr = (n−1)C(r−1) + (n−1)Cr.

Les résultats sont des estimations. Vérifiez avec un professionnel pour les décisions importantes.

À propos de ce calculateur

Ce calculateur fournit les quatre valeurs de dénombrement classiques en un seul calcul : les arrangements ordonnés sans répétition (nPr), les sélections non ordonnées sans répétition (nCr), les arrangements ordonnés avec répétition (nʳ) et les sélections non ordonnées avec répétition. Saisissez la taille de l’ensemble n et la taille de l’échantillon r pour obtenir tous les résultats instantanément.

Comment lire vos résultats

Le chiffre principal est nCr — le nombre de façons de choisir r éléments parmi n lorsque l’ordre ne compte pas. En dessous figurent également nPr (l’ordre compte, sans répétition), nʳ (l’ordre compte, répétitions autorisées) et le nombre de combinaisons avec répétition. Le détail pas à pas montre le développement factoriel de nPr et nCr, et le panneau triangle de Pascal met en évidence l’emplacement exact de votre valeur nCr.

Exemple concret

Choisissez 3 éléments dans un ensemble de 5 (par exemple, 3 garnitures parmi une liste de 5).

nPr = 60 arrangements ordonnés ; nCr = 10 sélections non ordonnées ; avec répétition : 125 ordonnées et 35 non ordonnées.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison ?

Une permutation compte les arrangements où l’ordre est important — ABC et BAC sont deux résultats distincts. Une combinaison compte les sélections où l’ordre est indifférent — ABC et BAC donnent le même résultat. En pratique, utilisez les permutations pour les classements et les séquences, et les combinaisons pour les comités, les équipes ou les sous-ensembles.

Quand utiliser les variantes avec répétition ?

Utilisez le dénombrement avec répétition lorsqu’un élément peut être choisi plusieurs fois — par exemple, pour composer un code PIN ou choisir des parfums en autorisant les doublons. La formule nʳ couvre les choix ordonnés avec répétition ; C(n+r−1, r) couvre les choix non ordonnés avec répétition.

Pourquoi le calculateur est-il limité à n = 170 ?

170 est le plus grand entier dont la factorielle tient dans un nombre à virgule flottante 64 bits (170! ≈ 7,3 × 10³⁰⁶). Au-delà, le type Number de JavaScript déborde vers l’infini. Le calculateur utilise la formule multiplicative plutôt que de calculer des factorielles complètes, ce qui garantit des résultats exacts jusqu’à la limite des entiers sûrs de JavaScript.

Méthode de calcul

Les permutations sans répétition utilisent nPr = n! / (n − r)!, calculées multiplicativement comme le produit n × (n−1) × … × (n−r+1) pour éviter le débordement. Les combinaisons sans répétition utilisent nCr = n! / (r!(n−r)!), calculées avec la formule multiplicative symétrique ∏(n−k+i)/i pour i = 1..k où k = min(r, n−r). Les arrangements ordonnés avec répétition sont simplement nʳ. Les sélections non ordonnées avec répétition appliquent la formule des multiensembles C(n+r−1, r), également calculée multiplicativement.

Vous avez remarqué un souci de traduction, un souci de calcul, ou une suggestion ? Faites-le-nous savoir.