Calculadora de Suma de Serie Geométrica
Introduce el primer término a, la razón común r y el número de términos n para obtener el término n, la suma parcial Sₙ y la suma hasta el infinito (cuando |r| < 1) — con el desarrollo.
- Término n (aₙ)
- 512
- Suma hasta el infinito
- Diverge
Calculadora
Solución desarrollada
Término n: aₙ = a·rⁿ⁻¹ = 1·(2)^9 = 512
Suma parcial: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) = 1·(1 − (2)^10)/(1 − 2) = 1023
Suma hasta el infinito: con |r| = 2 ≥ 1 la serie diverge, por lo que S∞ es indefinida.
Acerca de esta calculadora
Esta calculadora trabaja con una serie geométrica — una sucesión donde cada término es el anterior multiplicado por una razón común fija r, partiendo de un primer término a. Introduce a, r y el número de términos n para ver al instante el término n (aₙ), la suma parcial de los primeros n términos Sₙ y la suma hasta el infinito S∞ cuando la serie converge.
Cómo leer tus resultados
La tarjeta de resultado muestra la suma parcial Sₙ de los primeros n términos en la parte superior. Debajo encontrarás el término n (último) aₙ = a·rⁿ⁻¹ y la suma hasta el infinito. La suma hasta el infinito es un número finito solo cuando |r| < 1, porque esa es la condición para que los términos se reduzcan a cero lo suficientemente rápido para que la suma total se estabilice; si |r| ≥ 1 la serie diverge y la calculadora lo indica en lugar de imprimir un número engañoso. La solución desarrollada de abajo sustituye tus valores en cada fórmula cerrada para que puedas seguir cada paso.
Cómo se calcula
El término n se calcula con la forma cerrada aₙ = a·rⁿ⁻¹. La suma parcial usa Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) para r ≠ 1, con replegado a Sₙ = n·a cuando r = 1 para evitar dividir por cero. La suma hasta el infinito es S∞ = a/(1 − r) y se muestra solo cuando |r| < 1, la condición estándar de convergencia para una serie geométrica; de lo contrario la calculadora indica que la serie diverge en lugar de imprimir un valor. Estas fórmulas y la regla de convergencia están documentadas por Wolfram MathWorld y Wikipedia.
Ejemplo práctico
Introduce a = 1, r = 2, n = 10 (la serie 1 + 2 + 4 + … + 512).
El término n es a₁₀ = 1·2⁹ = 512 y la suma parcial es S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023. Como |r| = 2 ≥ 1, la serie diverge, por lo que no hay suma hasta el infinito. Cambia a r = 0,5 y la suma hasta el infinito se convierte en a/(1 − r) = 1/0,5 = 2.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo tiene una serie geométrica suma hasta el infinito?
Una serie geométrica converge a una suma finita hasta el infinito solo cuando la razón satisface |r| < 1. En ese caso S∞ = a/(1 − r). Cuando |r| ≥ 1 — incluidos r = 1 y r = −1 — los términos no se reducen a cero, las sumas parciales siguen creciendo u oscilando, y no hay suma finita; se dice que la serie diverge.
¿Cuál es la diferencia entre el término n y la suma parcial?
El término n aₙ = a·rⁿ⁻¹ es el valor de un solo término — la n-ésima entrada de la sucesión. La suma parcial Sₙ suma los primeros n términos: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) para r ≠ 1, o simplemente n·a cuando r = 1. Así, aₙ es un número de la lista, mientras que Sₙ es el total acumulado hasta ese punto.
¿Pueden ser negativos el primer término o la razón común?
Sí. El primer término a y la razón común r pueden ser cualquier número finito, incluyendo negativos y fracciones. Una razón negativa hace que los términos alteren su signo (por ejemplo 1, −2, 4, −8…). Las fórmulas cerradas manejan todos los casos; el único requisito para una suma finita hasta el infinito sigue siendo |r| < 1.
¿Por qué cambia la fórmula cuando r = 1?
La fórmula general de suma parcial Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) divide entre (1 − r), que es cero cuando r = 1. En ese caso cada término es igual a a, por lo que la suma es simplemente n copias de a: Sₙ = n·a. La calculadora detecta r = 1 y utiliza este caso especial automáticamente.
Fuentes
Revisado por el equipo de YouCalc · Última revisión
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