সমান্তর প্রগতি ক্যালকুলেটর
প্রথম পদ, সাধারণ অন্তর এবং পদ সংখ্যা দিন n-তম পদ ও সমান্তর শ্রেণির যোগফল পেতে — সূত্র ও অনুক্রমের পূর্বদর্শনসহ।
- n-তম পদ (aₙ)
- ২৯
- পদ (n)
- ১০
ক্যালকুলেটর
অনুক্রমের পূর্বদর্শন
ধাপে ধাপে সমাধান
n-তম পদ: aₙ = a₁ + (n − 1)·d = ২ + (১০ − 1)·৩ = ২৯
যোগফল: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2 = ১০·(২ + ২৯) / 2 = ১৫৫
এই ক্যালকুলেটর সম্পর্কে
সমান্তর প্রগতি (বা সমান্তর অনুক্রম) হলো সংখ্যার এমন একটি তালিকা যেখানে প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ — সাধারণ অন্তর d — যোগ করে পাওয়া যায়। এই ক্যালকুলেটরে প্রথম পদ a₁, সাধারণ অন্তর d এবং কতটি পদ চান (n) তা দিন, এবং এটি n-তম পদ aₙ, সেই n পদের যোগফল Sₙ এবং অনুক্রমের একটি পূর্বদর্শন দেবে। ক্রমবর্ধমান (ধনাত্মক d), হ্রাসমান (ঋণাত্মক d) এবং স্থির (d = 0) অনুক্রমের জন্য কাজ করে, পদগুলো পূর্ণ বা ভগ্নাংশ যাই হোক।
কীভাবে ফলাফল পড়বেন
বড় সংখ্যাটি হলো যোগফল Sₙ — প্রথম n পদ একসাথে যোগ করলে যা পাওয়া যায়। পাশে রয়েছে n-তম পদ aₙ, যা সেই সিরিজের শেষ পদের মান। অনুক্রমের পূর্বদর্শনে প্রারম্ভিক পদগুলো ক্রমানুসারে তালিকাবদ্ধ থাকে যাতে আপনি এক নজরে প্যাটার্ন দেখতে পারেন; n বড় হলে পূর্বদর্শন সীমিত হয়, কিন্তু aₙ সবসময় দেখায় অনুক্রম কোথায় শেষ হয়। ধাপে ধাপে সমাধান প্যানেল আপনার সংখ্যাগুলো দুটি সূত্রে বসিয়ে প্রতিটি ধাপ হাতে যাচাই করার সুযোগ দেয়।
কীভাবে গণনা করা হয়
সমান্তর প্রগতিতে n-তম পদ হলো aₙ = a₁ + (n − 1)·d, কারণ আপনি a₁ থেকে শুরু করে n-তম অবস্থানে পৌঁছাতে মোট (n − 1) বার সাধারণ অন্তর d যোগ করেন। প্রথম n পদের যোগফল — একটি সমান্তর শ্রেণি — হলো পদ সংখ্যা গুণ প্রথম ও শেষ পদের গড়: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2। aₙ প্রতিস্থাপন করে সমতুল্য বন্ধ রূপ পাওয়া যায়: Sₙ = n/2·(2·a₁ + (n − 1)·d)। পদ সংখ্যা n একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হতে হবে; a₁ এবং d যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, ঋণাত্মক এবং ভগ্নাংশসহ।
একটি উদাহরণ
প্রথম পদ a₁ = 2, সাধারণ অন্তর d = 3, এবং n = 10 পদ।
অনুক্রমটি হলো 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29। দশম পদ a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 29, এবং দশটি পদের যোগফল S₁₀ = 10·(2 + 29) / 2 = 155।
প্রায়শ জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন
n-তম পদ এবং যোগফলের মধ্যে পার্থক্য কী?
n-তম পদ aₙ হলো একটি একক মান — অনুক্রমের n অবস্থানের সংখ্যা — যা aₙ = a₁ + (n − 1)·d দিয়ে পাওয়া যায়। যোগফল Sₙ প্রথম থেকে n-তম পদ পর্যন্ত সব পদ যোগ করে: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2। a₁ = 2, d = 3, n = 10 এর জন্য দশম পদ 29, আর দশটি পদের যোগফল 155।
সাধারণ অন্তর কীভাবে বের করবো?
সাধারণ অন্তর d হলো যেকোনো পদ ও তার আগের পদের মধ্যকার ব্যবধান, তাই একটি পদ থেকে তার পরবর্তী পদ বিয়োগ করুন: d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂, এবং এভাবে চলতে থাকে। পরপর পদগুলোর মধ্যে যদি ধ্রুবক ব্যবধান না থাকে, তাহলে অনুক্রমটি সমান্তর নয়। ধনাত্মক d ক্রমবর্ধমান অনুক্রম দেয়, ঋণাত্মক d হ্রাসমান অনুক্রম দেয়, এবং d = 0 স্থির অনুক্রম দেয় যেখানে প্রতিটি পদ a₁ এর সমান।
সাধারণ অন্তর বা পদগুলো কি ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে?
হ্যাঁ। প্রথম পদ a₁ এবং সাধারণ অন্তর d যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে — ঋণাত্মক, শূন্য বা ভগ্নাংশ। a₁ = 5 এবং d = −2 দিয়ে অনুক্রম হ্রাস পায়: 5, 3, 1, −1, …। শুধু পদ সংখ্যা n সীমাবদ্ধ: এটি অবশ্যই 1 বা তার বেশি পূর্ণ সংখ্যা হতে হবে, কারণ পদের ভগ্নাংশ সংখ্যা থাকতে পারে না।
যোগফলের সূত্র কেন n·(a₁ + aₙ) / 2?
প্রথম পদকে শেষ পদের সাথে, দ্বিতীয় পদকে শেষ থেকে দ্বিতীয় পদের সাথে জোড়া বাঁধলে, প্রতিটি জোড়ার যোগফল একই a₁ + aₙ হয়। এরকম n/2টি জোড়া আছে, তাই যোগফল n·(a₁ + aₙ) / 2 — এই কৌশলটি কার্ল ফ্রিডরিখ গাউসের নামে প্রচলিত, যিনি নাকি 1 থেকে 100 পর্যন্ত সংখ্যার যোগ 50টি জোড়ায় ভাগ করে, প্রতিটি জোড়ার যোগফল 101 করে, মোট 5050 পেয়েছিলেন।
সূত্র
YouCalc দল পর্যালোচনা করেছে · সর্বশেষ পর্যালোচনা
অনুবাদে কোনো বিষয়, হিসাবে কোনো প্রশ্ন, বা কোনো পরামর্শ আছে? আমাদের জানান।