জ্যামিতিক ধারার যোগফল ক্যালকুলেটর
প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদসংখ্যা n দিন এবং n-তম পদ, আংশিক যোগফল Sₙ ও অসীম পর্যন্ত যোগফল (যখন |r| < 1) — সমাধানের ধাপসহ পান।
- n-তম পদ aₙ
- ৫১২
- অসীম পর্যন্ত যোগফল
- অপসারী
ক্যালকুলেটর
বিস্তারিত সমাধান
n-তম পদ: aₙ = a·rⁿ⁻¹ = ১·(২)^৯ = ৫১২
আংশিক যোগফল: Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) = ১·(1 − (২)^১০)/(1 − ২) = ১,০২৩
অসীম পর্যন্ত যোগফল: |r| = ২ ≥ 1 হওয়ায় ধারাটি অপসারী, তাই S∞ অনির্ধারিত।
এই ক্যালকুলেটর সম্পর্কে
এই ক্যালকুলেটর জ্যামিতিক ধারার সাথে কাজ করে — একটি অনুক্রম যেখানে প্রতিটি পদ আগের পদকে একটি নির্দিষ্ট সাধারণ অনুপাত r দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়, প্রথম পদ a থেকে শুরু হয়ে। a, r এবং পদসংখ্যা n দিন এবং তাৎক্ষণিকভাবে n-তম পদ aₙ, প্রথম n পদের আংশিক যোগফল Sₙ এবং যখন ধারা অভিসারী হয় তখন অসীম যোগফল S∞ দেখুন।
কীভাবে ফলাফল পড়বেন
ফলাফলের কার্ডে উপরে প্রথম n পদের আংশিক যোগফল Sₙ দেখায়। তার নিচে n-তম (শেষ) পদ aₙ = a·rⁿ⁻¹ এবং অসীম যোগফল রয়েছে। অসীম যোগফল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা শুধুমাত্র তখনই যখন |r| < 1, কারণ এটিই শর্ত যে পদগুলো যথেষ্ট দ্রুত শূন্যের দিকে সংকুচিত হবে এবং মোট যোগফল স্থির হবে; |r| ≥ 1 হলে ধারাটি অপসারী হয় এবং ক্যালকুলেটর বিভ্রান্তিকর সংখ্যা না দিয়ে সেটাই জানায়। নিচের বিস্তারিত সমাধান প্রতিটি বদ্ধ সূত্রে আপনার মান বসিয়ে প্রতিটি ধাপ অনুসরণ করতে সাহায্য করে।
কীভাবে গণনা করা হয়
n-তম পদ বদ্ধ সূত্র aₙ = a·rⁿ⁻¹ দিয়ে গণনা করা হয়। আংশিক যোগফল r ≠ 1 এর জন্য Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) ব্যবহার করে, শূন্য দিয়ে ভাগ এড়াতে r = 1 হলে Sₙ = n·a তে ফিরে যায়। অসীম যোগফল S∞ = a/(1 − r) শুধুমাত্র |r| < 1 হলে জানানো হয়, যা জ্যামিতিক ধারার সম্মত অভিসরণ শর্ত; অন্যথায় ক্যালকুলেটর একটি মান মুদ্রণের পরিবর্তে ধারাটি অপসারী বলে জানায়। এই সূত্র এবং অভিসরণ নিয়ম Wolfram MathWorld এবং Wikipedia-তে নথিভুক্ত।
একটি উদাহরণ
a = 1, r = 2, n = 10 দিন (ধারা 1 + 2 + 4 + … + 512)।
n-তম পদ a₁₀ = 1·2⁹ = 512 এবং আংশিক যোগফল S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023। যেহেতু |r| = 2 ≥ 1, ধারাটি অপসারী, তাই কোনো অসীম যোগফল নেই। r = 0.5 তে পরিবর্তন করুন এবং অসীম যোগফল হয় a/(1 − r) = 1/0.5 = 2।
প্রায়শ জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন
জ্যামিতিক ধারার অসীম যোগফল কখন থাকে?
জ্যামিতিক ধারা একটি নির্দিষ্ট অসীম যোগফলে অভিসারী হয় শুধুমাত্র তখন যখন সাধারণ অনুপাত |r| < 1 শর্ত পূরণ করে। সেক্ষেত্রে S∞ = a/(1 − r)। যখন |r| ≥ 1 — r = 1 এবং r = −1 সহ — পদগুলো শূন্যের দিকে সংকুচিত হয় না, আংশিক যোগফল বাড়তে বা দোদুল্যমান হতে থাকে এবং কোনো নির্দিষ্ট মোট নেই; ধারাটিকে অপসারী বলা হয়।
n-তম পদ এবং আংশিক যোগফলের মধ্যে পার্থক্য কী?
n-তম পদ aₙ = a·rⁿ⁻¹ হলো একটি একক পদের মান — অনুক্রমের n-তম প্রবিষ্টি। আংশিক যোগফল Sₙ প্রথম n পদ একসাথে যোগ করে: r ≠ 1 এর জন্য Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r), অথবা r = 1 হলে শুধু n·a। তাই aₙ তালিকার একটি সংখ্যা, আর Sₙ হলো সেই বিন্দু পর্যন্ত সঞ্চিত মোট।
প্রথম পদ বা সাধারণ অনুপাত কি ঋণাত্মক হতে পারে?
হ্যাঁ। প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r যেকোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা হতে পারে, ঋণাত্মক এবং ভগ্নাংশ সহ। ঋণাত্মক অনুপাত পদগুলোর চিহ্ন পরিবর্তন করে (উদাহরণ 1, −2, 4, −8…)। বদ্ধ সূত্রগুলো প্রতিটি ক্ষেত্রে কাজ করে; নির্দিষ্ট অসীম যোগফলের জন্য একমাত্র শর্ত এখনও |r| < 1।
r = 1 হলে সূত্র কেন পরিবর্তন হয়?
সাধারণ আংশিক যোগফলের সূত্র Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) (1 − r) দিয়ে ভাগ করে, যেটি r = 1 হলে শূন্য হয়। সেক্ষেত্রে প্রতিটি পদ a এর সমান, তাই যোগফল হলো a এর n কপি: Sₙ = n·a। ক্যালকুলেটর r = 1 শনাক্ত করে এবং স্বয়ংক্রিয়ভাবে এই বিশেষ ক্ষেত্র ব্যবহার করে।
সূত্র
YouCalc দল পর্যালোচনা করেছে · সর্বশেষ পর্যালোচনা
অনুবাদে কোনো বিষয়, হিসাবে কোনো প্রশ্ন, বা কোনো পরামর্শ আছে? আমাদের জানান।