حوّل قيمة إلى درجة معيارية (z) واقرأ الاحتمال والمئين، أو أوجد احتمال الوقوع بين قيمتين، أو ارجع من المئين إلى الدرجة الخام — مع منحنى مظلَّل.
الدرجة المعيارية
2
المئين
97.72%
الحاسبة
الدرجة المعيارية
2
x = 130 يبعد 2 انحرافًا معياريًا عن المتوسط.
P(X < x) — يسار
0.9772
P(X > x) — يمين
0.0228
ثنائي الطرف P(|Z| > |z|)
0.0455
كيف تعمل الدرجات المعيارية والمنحنى الطبيعي
تقيس الدرجة المعيارية كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط: z = (x − μ) / σ. ثم يحوّل المنحنى الطبيعي المعياري تلك الدرجة z إلى احتمال. المساحة على يسار z، أي Φ(z)، هي احتمال أن تكون أقل من x؛ والمساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)؛ والمساحة ثنائية الطرف هي احتمال الابتعاد عن المتوسط بمقدار |z| على الأقل في أي اتجاه.
وبعكس العملية، يُحوَّل المئين إلى درجة معيارية بدالة التوزيع الطبيعي العكسية Φ⁻¹، ثم إلى قيمة خام بالعلاقة x = μ + z·σ. وتُظهر المنطقة المظلَّلة تحت المنحنى الاحتمال الذي تقرؤه بالضبط.
ما الدرجة المعيارية الجيدة أو السيئة؟
الدرجة المعيارية ليست جيدة أو سيئة بذاتها — إنما تبيّن مدى ندرة القيمة. تقريبًا 68% من القيم تقع ضمن ±1 و95% ضمن ±2 و99.7% ضمن ±3 انحرافات معيارية عن المتوسط.
متى أستخدم الاحتمال ثنائي الطرف؟
استخدمه عندما يهمّك الابتعاد عن المتوسط في أي اتجاه — مثل اختبار فرضية ثنائي الجانب. عند z = 1.96 يكون الاحتمال ثنائي الطرف نحو 0.05، وهو أساس مستوى ثقة 95%.
ما دقة الاحتمالات؟
يستخدم الاحتمال التراكمي تقريبًا لدالة الخطأ بدقة نحو سبع منازل عشرية، ويستخدم العكس تقريبًا كسريًا بدقة نحو تسع — أدق بكثير من جداول z المطبوعة.
النتائج تقديرية. تحقق مع مختص قبل اتخاذ قرارات مهمة.
حول هذه الحاسبة
تحوّل هذه الحاسبة القيمة الخام إلى درجة معيارية (z) وتوضح كيف تقارن هذه القيمة بباقي أفراد مجتمع ذي توزيع طبيعي. استخدمها لإيجاد احتمال وقوع نتيجة دون قيمة معينة أو فوقها أو بين قيمتين، أو لقراءة الرتبة المئينية، أو لاستنتاج الدرجة الخام من مئين مستهدف.
كيف تقرأ نتائجك
الرقم الرئيسي هو الدرجة المعيارية z، التي تخبرك بعدد الانحرافات المعيارية التي تفصل القيمة عن المتوسط. يعرض الشريط الإحصائي أيضًا المئين المقابل. يظهر أسفل المدخلات منحنى طبيعي مظلَّل يبرز منطقة الاهتمام — تظليل يساري لقيمة مفردة، وتظليل بيني عند إدخال قيمتين. تعرض بطاقة النتيجة احتمالات الذيل الأيسر والذيل الأيمن وثنائي الذيل، لتختار المناسب لسؤالك.
مثال تطبيقي
درجة ذكاء 130 في اختبار متوسطه 100 وانحرافه المعياري 15.
الدرجة المعيارية هي 2.00. احتمال الذيل الأيسر هو 0.9772، بمعنى أن 97.72% من المجتمع تقل درجاتهم عن 130. احتمال الذيل الأيمن هو 0.0228 واحتمال ثنائي الذيل هو 0.0455.
الأسئلة الشائعة
ما الذي تخبرني به الدرجة المعيارية z؟
تقيس الدرجة المعيارية z المسافة من المتوسط بوحدات الانحراف المعياري. تعني z=0 أن القيمة تساوي المتوسط، وتعني z=1 أنها تقع بمقدار انحراف معياري واحد فوقه، وتعني z=−1 انحرافًا معياريًا واحدًا دونه. يجعل هذا مقارنة القيم من توزيعات مختلفة على مقياس موحّد أمرًا ممكنًا.
متى أستخدم احتمال الذيل الأيسر أو الأيمن أو ثنائي الذيل؟
استخدم الذيل الأيسر حين تسأل: «ما نسبة المجتمع التي تسجّل أقل من X؟» واستخدم الذيل الأيمن لـ«ما نسبة من يسجّل أكثر من X؟» وأما ثنائي الذيل فيُستخدم عند اختبار ما إذا كانت القيمة غير مألوفة في أي اتجاه، كما في اختبار الفرضية الإحصائية بلا اتجاه محدد مسبقًا.
هل تفترض هذه الحاسبة التوزيع الطبيعي؟
نعم. تُحسب جميع الاحتمالات والمئينات هنا بافتراض منحنى طبيعي معياري مثالي. أما البيانات الحقيقية ذات الالتواء الشديد أو الذيول الطويلة، فتكون النتائج تقريبية، وقد يكون استخدام أداة متخصصة بالتوزيع الملائم أكثر دقة.
طريقة الحساب
صيغة الدرجة المعيارية: z = (x − μ) / σ، حيث x هي القيمة المرصودة، وμ متوسط المجتمع، وσ الانحراف المعياري. تُستمد الاحتمالات التراكمية من دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري Φ(z)، المحسوبة بتقريب erf لأبراموفيتش وستيغن (المعادلة 7.1.26، خطأ أقصى ~1.5×10⁻⁷). أما دالة التوزيع التراكمي العكسي Φ⁻¹(p) فتستخدم تقريب أكلام النسبي لتحويل المئين إلى درجة z، ثم تُستعاد القيمة الخام بالعلاقة x = μ + z·σ.
لاحظت ملاحظة على الترجمة أو الحساب، أو لديك اقتراح؟ أخبرنا.