اختر r عنصرًا من n وشاهد عدد الطرق الممكنة — مرتّبة (تباديل) أو غير مرتّبة (توافيق)، بتكرار وبدونه — مع خطوات العوامل ومثلث باسكال.
nPr = n! / (n − r)! = 5! / 2! = 60
nCr = n! / (r!·(n − r)!) = 10
التبديل يَعُدّ الترتيبات حيث يهمّ الترتيب: nPr = n!/(n − r)!. والتوفيق يَعُدّ الاختيارات حيث لا يهمّ الترتيب، فيقسم على r! ترتيبات كل مجموعة: nCr = n!/(r!·(n − r)!). لذا فإن nCr دائمًا يساوي nPr مقسومًا على r!.
عندما يمكن اختيار العناصر أكثر من مرة، تكون التباديل بتكرار ببساطة nʳ، والتوافيق بتكرار هي C(n + r − 1, r). وقيم nCr هي بالضبط أرقام مثلث باسكال: الصف n، الموضع r.
استخدم التبديل عندما يهمّ ترتيب العناصر المختارة — منصة سباق، رقم سري، قائمة مرتّبة. واستخدم التوفيق عندما تهمّ المجموعة فقط لا ترتيبها — سحب يانصيب، لجنة، يد ورق.
مع التكرار، يمكن اختيار العنصر نفسه أكثر من مرة — مثل رمز من 4 أرقام يمكن تكرار أرقامه. وبدون تكرار يُستخدم كل عنصر مرة واحدة على الأكثر، مثل توزيع ورق متمايز.
كل قيمة في مثلث باسكال هي توفيق: القيمة في الصف n الموضع r هي بالضبط nCr. وكل رقم هو مجموع الرقمين فوقه، وهو ما يعكس المتطابقة nCr = (n−1)C(r−1) + (n−1)Cr.
تحسب هذه الحاسبة القيم الأربع الكلاسيكية في آنٍ واحد: الترتيبات المرتّبة دون تكرار (nPr)، والترتيبات غير المرتّبة دون تكرار (nCr)، والترتيبات المرتّبة مع التكرار (nʳ)، وغير المرتّبة مع التكرار. أدخل حجم المجموعة n وحجم العيّنة r، لتحصل على جميع القيم فورًا.
الرقم الرئيسي هو nCr، أي عدد طرق اختيار r عناصر من n دون مراعاة الترتيب. تحته تجد أيضًا nPr (الترتيب مهم، بدون تكرار)، وnʳ (الترتيب مهم، مع تكرار)، وعدد التوافيق مع التكرار. تعرض خطوات التفصيل توسيع المضروب الضربي لـnPr وnCr، كما يُبرز مثلث باسكال المكان الدقيق لقيمة nCr.
اختر 3 عناصر من مجموعة مكوّنة من 5 (مثلًا اختيار 3 إضافات من قائمة تضمّ 5).
nPr = 60 ترتيبًا مرتّبًا؛ nCr = 10 اختيارات غير مرتّبة؛ مع التكرار: 125 مرتّبة و35 غير مرتّبة.
يعدّ التبادل الترتيبات التي يكون فيها الترتيب مهمًّا — فـABC وBAC نتيجتان مختلفتان. أمّا التوافيق فيعدّ الاختيارات التي لا يهمّ فيها الترتيب — فـABC وBAC نتيجة واحدة. استخدم التباديل للتصنيفات والتسلسلات، والتوافيق للجان والفرق والمجموعات الفرعية.
استخدم التكرار حين يمكن اختيار العنصر أكثر من مرة، كاختيار أرقام لكلمة مرور أو نكهات يمكن تكرارها. تغطّي صيغة nʳ الخيارات المرتّبة مع التكرار، وتغطّي C(n+r−1, r) الخيارات غير المرتّبة مع التكرار.
170 هو أكبر عدد صحيح لا تتجاوز قيمة مضروبه حدود أرقام الفاصلة العائمة ذات 64 بت (170! ≈ 7.3 × 10³⁰⁶). ما وراء ذلك ينتج عن نوع Number في جاڤاسكريبت فيضان إلى ما لا نهاية. تستخدم الحاسبة صيغة ضربية بدلًا من حساب المضروبات الكاملة للحصول على نتائج دقيقة.
تستخدم التباديل دون تكرار صيغة nPr = n! / (n − r)!، وتُحسب ضربيًّا كحاصل ضرب n × (n−1) × … × (n−r+1) لتفادي الفيضان. وتستخدم التوافيق دون تكرار nCr = n! / (r!(n−r)!)، وتُحسب بالصيغة الضربية المتماثلة ∏(n−k+i)/i من i=1 إلى k حيث k = min(r, n−r). الترتيبات المرتّبة مع التكرار ببساطة nʳ، أمّا غير المرتّبة مع التكرار فتستخدم صيغة المجموعة المتعددة C(n+r−1, r)، أيضًا محسوبة ضربيًّا.
لاحظت ملاحظة على الترجمة أو الحساب، أو لديك اقتراح؟ أخبرنا.