توقّع كمية تنمو أو تتقلص أسيًا — سكان، استثمار، بكتيريا أو نظير مشعّ متحلل — واقرأ القيمة عند أي زمن، وزمن التضاعف أو عمر النصف، والمنحنى.
القيمة عند t
1,628.89
التضاعف / عمر النصف
14.207
الحاسبة
القيمة عند t = 10
1,628.89
ينمو — يُضرب بـ 1.05 كل فترة.
معامل الفترة
1.05
زمن التضاعف
14.207
التغيّر الكلي
628.89
كيف يعمل النمو والاضمحلال الأسي
تتغيّر الكمية أسيًا عندما تُضرب بالعامل نفسه كل فترة. النموذج المتقطع يستخدم N(t) = N₀·(1 + r)^t، حيث r هو معدل النمو لكل فترة (سالب للاضمحلال). والنموذج المستمر يستخدم N(t) = N₀·e^{kt}، حيث k هو المعدل اللحظي — الخيار الطبيعي لما يتراكم باستمرار، كالتحلل الإشعاعي.
عندما تنمو الكمية، فإن زمن التضاعف ln(2)/ln(base) هو المدة اللازمة للتضاعف مهما كانت نقطة البداية. وعندما تتحلل، فإن عمر النصف ln(2)/|ln(base)| هو المدة اللازمة للنصف. وكلاهما ثابت لمعدل ثابت، وهي سمة التغيّر الأسي.
ما الفرق بين المتقطع والمستمر؟
النمو المتقطع يطبّق المعدل مرة كل فترة (مناسب للفائدة السنوية أو أرقام السكان السنوية). والنمو المستمر يتراكم في كل لحظة عبر e^{kt} (مناسب للتحلل الإشعاعي أو الفائدة المركّبة باستمرار). ولنفس المعدل المعلن، ينمو النموذج المستمر أسرع قليلًا.
كيف أنمذج الاضمحلال؟
أدخل معدلًا سالبًا. معدل متقطع −10% يعطي معامل فترة 0.9؛ ومعدل مستمر −0.1 يعطي e^−0.1. عندئذٍ تُرجع الحاسبة عمر النصف بدلًا من زمن التضاعف.
لماذا يكون زمن التضاعف ثابتًا؟
لأن التغيّر الأسي يضرب بالعامل نفسه كل فترة، فإن زمن النمو من أي قيمة إلى ضعفها يكون دائمًا نفسه. وذلك الزمن الثابت للتضاعف (أو عمر النصف) هو ما يميّز التغيّر الأسي عن التغيّر الخطي.
المنحنى
رسم المنحنى الأسي من t = 0 مع تعليم القيمة عند الزمن المختار.
Show data table
الزمن (t)
القيمة عند t
0
1,000
0.25
1,012.27
0.5
1,024.7
0.75
1,037.27
1
1,050
1.25
1,062.89
1.5
1,075.93
1.75
1,089.13
2
1,102.5
2.25
1,116.03
2.5
1,129.73
2.75
1,143.59
3
1,157.63
3.25
1,171.83
3.5
1,186.21
3.75
1,200.77
4
1,215.51
4.25
1,230.42
4.5
1,245.52
4.75
1,260.81
5
1,276.28
5.25
1,291.94
5.5
1,307.8
5.75
1,323.85
6
1,340.1
6.25
1,356.54
6.5
1,373.19
6.75
1,390.04
7
1,407.1
7.25
1,424.37
7.5
1,441.85
7.75
1,459.54
8
1,477.46
8.25
1,495.59
8.5
1,513.94
8.75
1,532.52
9
1,551.33
9.25
1,570.37
9.5
1,589.64
9.75
1,609.15
10
1,628.89
النتائج تقديرية. تحقق مع مختص قبل اتخاذ قرارات مهمة.
حول هذه الحاسبة
تًحاكي هذه الحاسبة النمو والاضمحلال الأسي باستخدام إما الصيغة المتقطعة N₀·(1 + r)^t أو الصيغة المستمرة N₀·e^{kt}. استخدمها لتوقʼع نمو السكان، أو الاضمحلال الإشعاعي، أو عوائد مركʼبة، أو انتشار وباء، أو أي كمية تتضاعف بمقدار ثابت في كل فترة.
كيف تقرأ نتائجك
الرقم الرئيسي هو القيمة المحسوبة عند الزمن الذي أدخلته. تحته تًعرض بطاقة النتيجة مع المضاعف لكل فترة (القاعدة)، وزمن التضاعف عند النمو أو عمر النصف عند الاضمحلال، والتغيير الصافي من الكمية الأولية. يرسم الرسم البياني الخطي المنحنى من t = 0 حتى الزمن الذي اخترته، لترى مدى حدʼة التسارع أو التناقص.
مثال تطبيقي
ابدأ بـ 500 وطبʼق معدل نمو متقطع بنسبة 8% لكل فترة على مدى 12 فترة.
القيمة النهائية نحو 1,259 — بمضاعف أساسي قدره 1.08 لكل فترة، وزمن تضاعف يبلغ نحو 9 فترات. تضاعفت الكمية من 500 أكثر من مرة في 12 خطوة فحسب.
الأسئلة الشائعة
متى يجب استخدام النموذج المستمر بدلًا من المتقطع؟
استخدم النموذج المستمر حين يحدث النمو أو الاضمحلال دون انقطاع — كالاضمحلال الإشعاعي، أو نمو البكتيريا في ظروف مثالية، أو العوائد المالية المركʼبة باستمرار. استخدم النموذج المتقطع حين يحدث التغيير في خطوات منفصلة، كالتعداد السنوي للسكان أو العوائد الدورية.
ما هو زمن التضاعف وكيف يًحسب؟
زمن التضاعف هو عدد الفترات اللازمة لمضاعفة الكمية. في النموذج المتقطع يساوي ln(2) / ln(1 + r)، وفي المستمر يساوي ln(2) / k. كلما ارتفع معدل النمو قصًr زمن التضاعف — عند 10% لكل فترة تتضاعف الكمية في نحو 7.3 فترة.
هل يمكن استخدام الحاسبة للاضمحلال، وما هو عمر النصف؟
نعم. أدخل معدلًا سالبًa في أي نموذج فتتحوʼل الحاسبة إلى وضع الاضمحلال. عمر النصف هو الزمن اللازم لتنصʼف الكمية. يًحسب كزمن التضاعف لكن بالقيمة المطلقة للمعدل: ln(2) / |k| للنموذج المستمر، أو ln(2) / |ln(قاعدة)| للمتقطع.
طريقة الحساب
في النموذج المتقطع القيمة عند الزمن t هي N(t) = N₀·(1 + r)^t، حيث N₀ الكمية الأولية و r معدل الفترة. في النموذج المستمر هي N(t) = N₀·e^{kt}، حيث k ثابت النمو المستمر. كلاهما يًختزل في الصيغة الموحʼدة N₀·b^t بقاعدة b = (1 + r) أو b = e^k. يًستنتج زمن التضاعف وعمر النصف من الشرط b^T = 2 (أو ½)، مما يعطي T = ln(2) / ln(b).
لاحظت ملاحظة على الترجمة أو الحساب، أو لديك اقتراح؟ أخبرنا.