Pilih r elemen dari n dan lihat berapa banyak cara yang bisa dilakukan — berurutan (permutasi) atau tidak berurutan (kombinasi), dengan dan tanpa pengulangan — beserta langkah faktorial dan segitiga Pascal.
nPr
60
nCr
10
Kalkulator
Kombinasi nCr
10
Memilih 3 dari 5.
Permutasi nPr (berurutan)
60
Permutasi dengan pengulangan (nʳ)
125
Kombinasi dengan pengulangan
35
Cara pengerjaan
nPr = n! / (n − r)! = 5! / 2! = 60
nCr = n! / (r!·(n − r)!) = 10
Segitiga Pascal (baris n = 5)
1
11
121
1331
14641
15101051
Permutasi vs kombinasi
Permutasi menghitung susunan di mana urutan penting: nPr = n!/(n − r)!. Kombinasi menghitung pilihan di mana urutan tidak penting, sehingga membagi r! pengurutan dari setiap kelompok: nCr = n!/(r!·(n − r)!). Oleh karena itu, nCr selalu sama dengan nPr dibagi r!.
Ketika elemen dapat dipilih lebih dari sekali, permutasi dengan pengulangan cukup dinyatakan sebagai nʳ, dan kombinasi dengan pengulangan adalah C(n + r − 1, r). Nilai-nilai nCr persis sama dengan angka-angka dalam segitiga Pascal: baris n, posisi r.
Kapan menggunakan permutasi dan kapan kombinasi?
Gunakan permutasi ketika urutan elemen yang dipilih penting — podium lomba, PIN, daftar peringkat. Gunakan kombinasi ketika hanya kelompoknya yang penting, bukan urutannya — undian lotre, panitia, kartu di tangan.
Apa arti 'dengan pengulangan'?
Dengan pengulangan, elemen yang sama dapat dipilih lebih dari sekali — seperti kode 4 digit di mana angka bisa berulang. Tanpa pengulangan, setiap elemen digunakan paling banyak satu kali, seperti membagikan kartu yang berbeda.
Apa hubungannya dengan segitiga Pascal?
Setiap entri dalam segitiga Pascal adalah sebuah kombinasi: nilai pada baris n, posisi r adalah tepat nCr. Setiap angka adalah jumlah dari dua angka di atasnya, yang mencerminkan identitas nCr = (n−1)C(r−1) + (n−1)Cr.
Hasil adalah estimasi. Verifikasikan dengan profesional untuk keputusan penting.
Tentang kalkulator ini
Kalkulator ini menghitung keempat nilai kombinatorika klasik sekaligus: pemilihan berurutan tanpa pengulangan (nPr), pemilihan tidak berurutan tanpa pengulangan (nCr), pemilihan berurutan dengan pengulangan (nʳ), dan pemilihan tidak berurutan dengan pengulangan. Masukkan ukuran himpunan n dan ukuran sampel r untuk melihat semua hasil secara instan.
Cara membaca hasil Anda
Angka utama adalah nCr — jumlah cara memilih r elemen dari n ketika urutan tidak diperhitungkan. Di bawahnya juga terdapat nPr (urutan penting, tanpa pengulangan), nʳ (urutan penting, pengulangan diizinkan), dan jumlah kombinasi dengan pengulangan. Rincian langkah demi langkah menampilkan ekspansi faktorial untuk nPr dan nCr, sementara panel segitiga Pascal menyoroti tepat di mana nilai nCr Anda berada.
Contoh perhitungan
Pilih 3 elemen dari himpunan berisi 5 (misalnya, memilih 3 topping dari daftar 5 pilihan).
nPr = 60 susunan berurutan; nCr = 10 pilihan tidak berurutan; dengan pengulangan: 125 berurutan dan 35 tidak berurutan.
Pertanyaan umum
Apa perbedaan antara permutasi dan kombinasi?
Permutasi menghitung susunan di mana urutan penting — ABC dan BAC adalah dua hasil yang berbeda. Kombinasi menghitung pilihan di mana urutan tidak penting — ABC dan BAC adalah hasil yang sama. Gunakan permutasi untuk peringkat atau urutan, dan kombinasi untuk panitia, tim, atau himpunan bagian.
Kapan sebaiknya menggunakan varian dengan pengulangan?
Gunakan hitungan dengan pengulangan ketika suatu elemen dapat dipilih lebih dari sekali — misalnya, saat membuat PIN atau memilih rasa yang boleh diulang. Rumus nʳ mencakup pilihan berurutan dengan pengulangan; C(n+r−1, r) mencakup pilihan tidak berurutan dengan pengulangan.
Mengapa kalkulator membatasi n hingga 170?
170 adalah bilangan bulat terbesar yang faktorialnya masih muat dalam bilangan floating-point 64-bit (170! ≈ 7,3 × 10³⁰⁶). Di atas itu, tipe Number JavaScript meluap menjadi Infinity. Kalkulator menggunakan rumus perkalian alih-alih menghitung faktorial penuh, sehingga hasilnya akurat hingga batas bilangan bulat aman JavaScript.
Cara penghitungan
Permutasi tanpa pengulangan menggunakan nPr = n! / (n − r)!, dihitung secara perkalian sebagai hasil kali n × (n−1) × … × (n−r+1) untuk menghindari luapan. Kombinasi tanpa pengulangan menggunakan nCr = n! / (r!(n−r)!), dihitung dengan rumus perkalian simetris ∏(n−k+i)/i untuk i = 1..k dengan k = min(r, n−r). Pilihan berurutan dengan pengulangan cukup dinyatakan sebagai nʳ. Pilihan tidak berurutan dengan pengulangan menerapkan rumus multiset C(n+r−1, r), yang juga dihitung secara perkalian.
Menemukan kendala terjemahan, kendala perhitungan, atau punya saran? Beritahu kami.