Proyeksikan besaran yang tumbuh atau menyusut secara eksponensial — populasi, investasi, bakteri, atau isotop yang meluruh — dan baca nilainya pada waktu mana pun, waktu penggandaan atau waktu paruh, serta kurvanya.
Nilai pada t
1.628,89
Penggandaan / waktu paruh
14,207
Kalkulator
Nilai pada t = 10
1.628,89
Tumbuh — dikalikan 1,05 setiap periode.
Faktor per periode
1,05
Waktu penggandaan
14,207
Perubahan total
628,89
Cara kerja pertumbuhan dan peluruhan eksponensial
Suatu besaran berubah secara eksponensial ketika dikalikan dengan faktor yang sama setiap periode. Model diskret menggunakan N(t) = N₀·(1 + r)^t, di mana r adalah tingkat pertumbuhan per periode (negatif untuk peluruhan). Model kontinu menggunakan N(t) = N₀·e^{kt}, di mana k adalah tingkat sesaat — pilihan alami untuk hal-hal yang dimajemukkan secara terus-menerus, seperti peluruhan radioaktif.
Ketika besaran tumbuh, waktu penggandaan ln(2)/ln(basis) adalah waktu yang diperlukan untuk berlipat dua, berapa pun titik awalnya. Ketika meluruh, waktu paruh ln(2)/|ln(basis)| adalah waktu yang diperlukan untuk menjadi setengahnya. Keduanya konstan untuk tingkat yang tetap, dan itulah ciri khas perubahan eksponensial.
Apa perbedaan antara diskret dan kontinu?
Pertumbuhan diskret menerapkan tingkat sekali per periode (cocok untuk bunga tahunan atau data populasi tahunan). Pertumbuhan kontinu dimajemukkan setiap saat melalui e^{kt} (cocok untuk peluruhan radioaktif atau bunga majemuk kontinu). Untuk tingkat nominal yang sama, model kontinu tumbuh sedikit lebih cepat.
Bagaimana cara memodelkan peluruhan?
Masukkan tingkat negatif. Tingkat diskret −10% menghasilkan faktor per periode 0,9; tingkat kontinu −0,1 menghasilkan e^−0.1. Kalkulator kemudian melaporkan waktu paruh, bukan waktu penggandaan.
Mengapa waktu penggandaan itu konstan?
Karena perubahan eksponensial mengalikan dengan faktor yang sama setiap periode, waktu untuk tumbuh dari nilai mana pun ke dua kali lipatnya selalu sama. Waktu penggandaan tetap (atau waktu paruh) itulah yang membedakan perubahan eksponensial dari perubahan linear.
Kurva
Plot kurva eksponensial dari t = 0 dengan nilai pada waktu yang dipilih ditandai.
Show data table
Waktu (t)
Nilai pada t
0
1.000
0,25
1.012,27
0,5
1.024,7
0,75
1.037,27
1
1.050
1,25
1.062,89
1,5
1.075,93
1,75
1.089,13
2
1.102,5
2,25
1.116,03
2,5
1.129,73
2,75
1.143,59
3
1.157,63
3,25
1.171,83
3,5
1.186,21
3,75
1.200,77
4
1.215,51
4,25
1.230,42
4,5
1.245,52
4,75
1.260,81
5
1.276,28
5,25
1.291,94
5,5
1.307,8
5,75
1.323,85
6
1.340,1
6,25
1.356,54
6,5
1.373,19
6,75
1.390,04
7
1.407,1
7,25
1.424,37
7,5
1.441,85
7,75
1.459,54
8
1.477,46
8,25
1.495,59
8,5
1.513,94
8,75
1.532,52
9
1.551,33
9,25
1.570,37
9,5
1.589,64
9,75
1.609,15
10
1.628,89
Hasil adalah estimasi. Verifikasikan dengan profesional untuk keputusan penting.
Tentang kalkulator ini
Kalkulator ini memodelkan pertumbuhan dan peluruhan eksponensial menggunakan rumus diskret N₀·(1 + r)^t atau rumus kontinu N₀·e^{kt}. Gunakan untuk memproyeksikan pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, imbal hasil majemuk, penyebaran virus, atau besaran apa pun yang berlipat ganda dengan faktor tetap setiap periode.
Cara membaca hasil Anda
Angka utama adalah nilai yang dihitung pada waktu yang Anda masukkan. Di bawahnya, kartu hasil menampilkan pengali per periode (basis), waktu penggandaan saat tumbuh atau waktu paruh saat meluruh, serta perubahan bersih dari jumlah awal. Grafik garis memplot kurva dari t = 0 hingga waktu yang Anda pilih, agar Anda dapat melihat seberapa cepat besaran tersebut meningkat atau berkurang.
Contoh perhitungan
Mulai dengan 500 dan terapkan tingkat pertumbuhan diskret sebesar 8% per periode selama 12 periode.
Nilai akhirnya adalah sekitar 1.259 — dengan pengali basis 1,08 per periode dan waktu penggandaan sekitar 9 periode. Besaran tersebut lebih dari dua kali lipat dari 500 hanya dalam 12 langkah.
Pertanyaan umum
Kapan saya harus menggunakan model kontinu daripada model diskret?
Gunakan model kontinu saat pertumbuhan atau peluruhan terjadi tanpa henti — misalnya peluruhan radioaktif, pertumbuhan bakteri dalam kondisi ideal, atau imbal hasil keuangan yang dimajemukkan secara kontinu. Gunakan model diskret saat perubahan terjadi dalam langkah-langkah terpisah, seperti sensus populasi tahunan atau imbal hasil investasi per periode.
Apa itu waktu penggandaan dan bagaimana cara menghitungnya?
Waktu penggandaan adalah jumlah periode yang dibutuhkan agar besaran berlipat dua. Untuk model diskret, nilainya ln(2) / ln(1 + r); untuk model kontinu, ln(2) / k. Tingkat pertumbuhan yang lebih tinggi berarti waktu penggandaan yang lebih pendek — pada 10% per periode, besaran berlipat ganda dalam sekitar 7,3 periode.
Bisakah saya menggunakannya untuk peluruhan, dan apa itu waktu paruh?
Bisa. Masukkan tingkat negatif pada salah satu model dan kalkulator akan beralih ke mode peluruhan. Waktu paruh adalah waktu yang dibutuhkan besaran untuk turun ke setengah nilainya saat ini. Dihitung dengan cara yang sama seperti waktu penggandaan tetapi menggunakan nilai mutlak tingkat: ln(2) / |k| untuk kontinu, atau ln(2) / |ln(basis)| untuk diskret.
Cara penghitungan
Untuk model diskret, nilai pada waktu t adalah N(t) = N₀·(1 + r)^t, di mana N₀ adalah jumlah awal dan r adalah tingkat per periode. Untuk model kontinu, N(t) = N₀·e^{kt}, di mana k adalah konstanta pertumbuhan kontinu. Keduanya tereduksi ke bentuk terpadu N₀·b^t dengan basis b = (1 + r) atau b = e^k. Waktu penggandaan dan waktu paruh diturunkan dari kondisi b^T = 2 (atau ½), menghasilkan T = ln(2) / ln(b).
Menemukan kendala terjemahan, kendala perhitungan, atau punya saran? Beritahu kami.