Calculatrice de Somme de Série Géométrique
Entrez le premier terme a, la raison r et le nombre de termes n pour obtenir le n-ième terme, la somme partielle Sₙ et la somme à l'infini (quand |r| < 1) — avec les étapes de calcul.
- n-ième terme aₙ
- 512
- Somme à l'infini
- Diverge
Calculateur
Solution détaillée
n-ième terme : aₙ = a·rⁿ⁻¹ = 1·(2)^9 = 512
Somme partielle : Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) = 1·(1 − (2)^10)/(1 − 2) = 1 023
Somme à l'infini : avec |r| = 2 ≥ 1, la série diverge, donc S∞ est indéfinie.
À propos de ce calculateur
Cette calculatrice travaille avec une suite géométrique — une suite dont chaque terme est le précédent multiplié par une raison fixe r, à partir du premier terme a. Entrez a, r et le nombre de termes n pour voir instantanément le n-ième terme aₙ, la somme partielle des n premiers termes Sₙ et la somme à l’infini S∞ quand la série converge.
Comment lire vos résultats
La carte de résultat affiche la somme partielle Sₙ des n premiers termes en haut. En dessous se trouvent le n-ième (dernier) terme aₙ = a·rⁿ⁻¹ et la somme à l’infini. La somme à l’infini est un nombre fini uniquement quand |r| < 1, car c’est la condition pour que les termes se réduisent vers zéro assez vite pour que la somme totale se stabilise ; si |r| ≥ 1 la série diverge et la calculatrice l’indique au lieu d’afficher un nombre trompeur. La solution détaillée ci-dessous substitue vos valeurs dans chaque formule fermée pour que vous puissiez suivre chaque étape.
Méthode de calcul
Le n-ième terme est calculé avec la forme fermée aₙ = a·rⁿ⁻¹. La somme partielle utilise Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) pour r ≠ 1, avec repli sur Sₙ = n·a quand r = 1 pour éviter la division par zéro. La somme à l’infini est S∞ = a/(1 − r) et n’est affichée que lorsque |r| < 1, condition standard de convergence d’une série géométrique ; sinon la calculatrice indique que la série diverge plutôt qu’une valeur. Ces formules et la règle de convergence sont documentées par Wolfram MathWorld et Wikipédia.
Exemple concret
Entrez a = 1, r = 2, n = 10 (la série 1 + 2 + 4 + … + 512).
Le n-ième terme est a₁₀ = 1·2⁹ = 512 et la somme partielle est S₁₀ = 1·(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 1023. Comme |r| = 2 ≥ 1, la série diverge, donc il n’y a pas de somme à l’infini. Passez à r = 0,5 et la somme à l’infini devient a/(1 − r) = 1/0,5 = 2.
Questions fréquentes
Quand une série géométrique a-t-elle une somme à l’infini ?
Une série géométrique converge vers une somme finie à l’infini uniquement quand la raison vérifie |r| < 1. Dans ce cas S∞ = a/(1 − r). Quand |r| ≥ 1 — y compris r = 1 et r = −1 — les termes ne tendent pas vers zéro, les sommes partielles continuent de croître ou d’osciller, et il n’y a pas de somme finie ; la série est dite divergente.
Quelle est la différence entre le n-ième terme et la somme partielle ?
Le n-ième terme aₙ = a·rⁿ⁻¹ est la valeur d’un seul terme — la n-ième entrée de la suite. La somme partielle Sₙ additionne les n premiers termes ensemble : Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) pour r ≠ 1, ou simplement n·a quand r = 1. Ainsi aₙ est un nombre de la liste, tandis que Sₙ est le total cumulé jusqu’à ce point.
Le premier terme ou la raison peuvent-ils être négatifs ?
Oui. Le premier terme a et la raison r peuvent être n’importe quels nombres finis, y compris négatifs et fractions. Une raison négative fait alterner le signe des termes (par exemple 1, −2, 4, −8…). Les formules fermées gèrent tous les cas ; la seule condition pour une somme finie à l’infini reste |r| < 1.
Pourquoi la formule change-t-elle quand r = 1 ?
La formule générale de somme partielle Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r) divise par (1 − r), qui est nul quand r = 1. Dans ce cas chaque terme est égal à a, donc la somme est simplement n copies de a : Sₙ = n·a. La calculatrice détecte r = 1 et utilise automatiquement ce cas particulier.
Sources
Révisé par l'équipe YouCalc · Dernière révision
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