Calculadora de crecimiento y decaimiento exponencial
Proyecta una cantidad que crece o decrece exponencialmente — población, inversión, bacterias o un isótopo en desintegración — y obtén el valor en cualquier instante, el tiempo de duplicación o la semivida, y la curva.
Valor en t
1628,89
Duplicación / semivida
14,207
Calculadora
Valor en t = 10
1628,89
Creciendo — se multiplica por 1,05 cada período.
Factor por período
1,05
Tiempo de duplicación
14,207
Cambio total
628,89
Cómo funcionan el crecimiento y el decaimiento exponencial
Una cantidad cambia exponencialmente cuando se multiplica por el mismo factor en cada período. El modelo discreto usa N(t) = N₀·(1 + r)^t, donde r es la tasa de crecimiento por período (negativa para el decaimiento). El modelo continuo usa N(t) = N₀·e^{kt}, donde k es la tasa instantánea — la opción natural para procesos que se capitalizan de forma continua, como la desintegración radiactiva.
Cuando la cantidad crece, el tiempo de duplicación ln(2)/ln(base) es el tiempo que tarda en doblar, independientemente del punto de partida. Cuando decae, la semivida ln(2)/|ln(base)| es el tiempo que tarda en reducirse a la mitad. Ambos son constantes para una tasa fija, y eso es lo que caracteriza el cambio exponencial.
¿Cuál es la diferencia entre discreto y continuo?
El crecimiento discreto aplica la tasa una vez por período (ideal para interés anual o datos de población anuales). El crecimiento continuo se capitaliza en cada instante mediante e^{kt} (ideal para la desintegración radiactiva o el interés compuesto continuo). Para la misma tasa nominal, el modelo continuo crece algo más rápido.
¿Cómo modelo el decaimiento?
Introduce una tasa negativa. Una tasa discreta de −10% da un factor por período de 0,9; una tasa continua de −0,1 da e^−0.1. El calculador muestra entonces la semivida en lugar del tiempo de duplicación.
¿Por qué el tiempo de duplicación es constante?
Porque el cambio exponencial multiplica por el mismo factor en cada período, el tiempo necesario para pasar de cualquier valor al doble siempre es el mismo. Ese tiempo de duplicación fijo (o semivida) es lo que distingue el cambio exponencial del cambio lineal.
Curva
Gráfica de la curva exponencial desde t = 0 con el valor en el tiempo elegido marcado.
Show data table
Tiempo (t)
Valor en t
0
1000
0,25
1012,27
0,5
1024,7
0,75
1037,27
1
1050
1,25
1062,89
1,5
1075,93
1,75
1089,13
2
1102,5
2,25
1116,03
2,5
1129,73
2,75
1143,59
3
1157,63
3,25
1171,83
3,5
1186,21
3,75
1200,77
4
1215,51
4,25
1230,42
4,5
1245,52
4,75
1260,81
5
1276,28
5,25
1291,94
5,5
1307,8
5,75
1323,85
6
1340,1
6,25
1356,54
6,5
1373,19
6,75
1390,04
7
1407,1
7,25
1424,37
7,5
1441,85
7,75
1459,54
8
1477,46
8,25
1495,59
8,5
1513,94
8,75
1532,52
9
1551,33
9,25
1570,37
9,5
1589,64
9,75
1609,15
10
1628,89
Los resultados son estimaciones. Verifica con un profesional para decisiones importantes.
Acerca de esta calculadora
Esta calculadora modela el crecimiento y el decaimiento exponencial mediante la fórmula discreta N₀·(1 + r)^t o la fórmula continua N₀·e^{kt}. Úsala para proyectar el crecimiento demográfico, la desintegración radiactiva, los rendimientos compuestos, la propagación de un virus o cualquier cantidad que se multiplique por un factor fijo en cada período.
Cómo leer tus resultados
La cifra principal es el valor calculado en el tiempo que introdujiste. Debajo, la tarjeta de resultado muestra el multiplicador por período (la base), el tiempo de duplicación si hay crecimiento o la semivida si hay decaimiento, y la variación neta respecto a la cantidad inicial. El gráfico de líneas traza la curva desde t = 0 hasta el tiempo elegido, para que veas con qué rapidez se acelera o disminuye la cantidad.
Ejemplo práctico
Empieza con 500 y aplica una tasa de crecimiento discreta del 8% por período durante 12 períodos.
El valor final es de aproximadamente 1 259 — con un multiplicador base de 1,08 por período y un tiempo de duplicación de unas 9 períodos. La cantidad pasó de 500 a más del doble en solo 12 pasos.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo debo usar el modelo continuo en lugar del discreto?
Usa el modelo continuo cuando el crecimiento o el decaimiento ocurre sin interrupción — por ejemplo, la desintegración radiactiva, el crecimiento bacteriano en condiciones ideales o los rendimientos financieros con capitalización continua. Usa el modelo discreto cuando el cambio ocurre en pasos diferenciados, como los censos anuales de población o los rendimientos de inversión período a período.
¿Qué es el tiempo de duplicación y cómo se calcula?
El tiempo de duplicación es el número de períodos necesarios para que la cantidad se duplique. Para el modelo discreto es ln(2) / ln(1 + r); para el continuo, ln(2) / k. A mayor tasa de crecimiento, menor tiempo de duplicación — al 10% por período, la cantidad se duplica en unas 7,3 períodos.
¿Puedo usarla para el decaimiento, y qué es la semivida?
Sí. Introduce una tasa negativa en cualquiera de los modelos y la calculadora cambia al modo de decaimiento. La semivida es el tiempo que tarda la cantidad en reducirse a la mitad de su valor actual. Se calcula igual que el tiempo de duplicación pero usando el valor absoluto de la tasa: ln(2) / |k| para el continuo, o ln(2) / |ln(base)| para el discreto.
Cómo se calcula
Para el modelo discreto, el valor en el tiempo t es N(t) = N₀·(1 + r)^t, donde N₀ es la cantidad inicial y r la tasa por período. Para el modelo continuo es N(t) = N₀·e^{kt}, donde k es la constante de crecimiento continuo. Ambos se reducen a la forma unificada N₀·b^t con la base b = (1 + r) o b = e^k. El tiempo de duplicación y la semivida se derivan de la condición b^T = 2 (o ½), lo que da T = ln(2) / ln(b).
¿Notaste algo en la traducción o el cálculo, o tienes una sugerencia? Cuéntanos.