Résolveur de système d'équations

À propos de ce calculateur

Ce calculateur résout un système de 2 ou 3 équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, et indique si le système admet une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions. Utilisez-le pour vérifier des exercices, contrôler des calculs à la main ou explorer l'effet d'un changement de coefficient sur l'intersection des droites ou des plans.

Comment lire vos résultats

La carte de résultat affiche soit la solution exacte (x, y et éventuellement z), soit la classification du système — unique, aucune ou infinie. Le détail pas à pas sous la carte présente le déterminant de la matrice des coefficients et la façon dont chaque variable est calculée par la règle de Cramer. Pour les systèmes 2x2, un graphique dans le plan cartésien trace les deux droites pour visualiser leur point d'intersection.

Méthode de calcul

Le solveur extrait la matrice des coefficients n x n A et le vecteur des constantes b depuis les lignes saisies. Il calcule det(A) par développement par rapport aux cofacteurs (les numérateurs de Cramer sont obtenus en remplaçant successivement chaque colonne de A par b). La classification est déterminée en comparant le rang de A avec celui de la matrice augmentée [A|b] par élimination gaussienne avec pivot partiel : rang(A) = rang([A|b]) = n donne une solution unique, rang(A) = rang([A|b]) < n donne une infinité de solutions, et rang(A) < rang([A|b]) signifie l'incompatibilité. Sources : Wolfram MathWorld ; Khan Academy.

Exemple concret

Saisissez le système 2x2 : équation 1 — x + y = 5, équation 2 — x - y = 1 (coefficients 1, 1, 5 et 1, -1, 1).

Le déterminant de la matrice des coefficients est -2. La règle de Cramer donne x = -6 / -2 = 3 et y = -4 / -2 = 2, donc la solution unique est x = 3, y = 2. Le graphique montre les deux droites qui se croisent en (3, 2).

Questions fréquentes

Que signifie un déterminant nul ?

Un déterminant nul indique que les équations ne sont pas indépendantes. Le calculateur vérifie alors la matrice augmentée : si son rang coïncide avec celui de la matrice des coefficients, les droites (ou les plans) sont confondus et il y a une infinité de solutions ; si les rangs diffèrent, le système est incompatible et n'admet aucune solution.

Qu'est-ce que la règle de Cramer et quand s'applique-t-elle ?

La règle de Cramer exprime chaque variable comme un rapport de deux déterminants : au numérateur, on remplace la colonne de la variable dans la matrice des coefficients par les termes constants ; au dénominateur figure le déterminant de la matrice des coefficients. Elle ne s'applique que lorsque ce déterminant est non nul, c'est-à-dire lorsque le système a exactement une solution.

Puis-je résoudre un système avec des coefficients décimaux ou fractionnaires ?

Oui. Chaque cellule de coefficient accepte n'importe quel nombre décimal fini. Le solveur travaille en virgule flottante double précision avec une petite tolérance pour les pivots proches de zéro, ce qui donne des résultats précis pour les exercices courants et les systèmes d'ingénierie bien conditionnés.

Sources

• mathworld.wolfram.com/LinearSystemofEquations.html
• www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:systems-of-equations/x2f8bb11595b61c86:solving-systems-elimination/a/elimination-method-review

Révisé par l'équipe YouCalc · Dernière révision11 juin 2026