# Z分数与正态分布计算器——概率与百分位

> Z分数计算器：将原始值换算为Z分数，求左侧、右侧、区间及双侧概率，或由百分位反推数值，并绘制带阴影的正态分布曲线。免费即算。

- **Category:** 数学
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/z-score-normal-distribution/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

本计算器将原始数值转换为 z 分数，并显示该数值相对于正态分布总体其余部分的位置。用它来求某个结果落在某值以下、以上或两值之间的概率，读取百分位排名，或从目标百分位反求出对应的分数。

## How to read your result

醒目的数字是 z 分数，它告诉你该数值高于或低于均值多少个标准差。统计条还会显示对应的百分位。输入栏下方有一条带阴影的正态曲线，突出显示关注区域——单个数值时左侧着色，输入两个数值时居中着色。结果卡片列出左尾、右尾和双尾概率，便于你选择与问题相符的那一个。

## Method

z 分数公式为 z =（x − μ）/ σ，其中 x 为观测值，μ 为总体均值，σ 为标准差。累积概率来自标准正态分布的累积分布函数（CDF）Φ(z)，采用 Abramowitz 与 Stegun 的 erf 近似（7.1.26，最大误差约 1.5 × 10⁻⁷）计算。逆累积分布函数 Φ⁻¹(p) 使用 Acklam 的有理近似将百分位映射回 z 分数。随后原始值通过 x = μ + z·σ 还原得到。

## Example

- **Setup:** 某项测验的智商分数为 130，其均值为 100，标准差为 15。
- **Result:** z 分数为 2.00。左尾概率为 0.9772，意味着 97.72% 的总体得分低于 130。右尾概率为 0.0228，双尾概率为 0.0455。

## Frequently asked questions

### z 分数能告诉我什么？

z 分数以标准差为单位衡量与均值的距离。z 为 0 表示该值等于均值；z 为 1 表示高于均值一个标准差；z 为 −1 表示低于均值一个标准差。这使得来自不同分布的数值能在同一尺度上进行比较。

### 我应该在什么时候使用左尾、右尾或双尾概率？

当你问「总体中有多少比例的得分小于 X？」时使用左尾。当问「有多少比例的得分大于 X？」时使用右尾。当检验某个值在任一方向上是否异常时使用双尾——例如在没有预先设定方向的假设检验中。

### 这是否假定为正态分布？

是的。此处所有的概率和百分位都是在标准正态曲线为理想形态的假设下计算的。对于严重偏斜或长尾的真实数据，结果只是近似值，针对特定分布的工具可能更为合适。

## Related calculators

- [标准差计算器](https://youcalc.com/zh/math/statistics-standard-deviation/)
- [排列组合计算器](https://youcalc.com/zh/math/permutations-combinations/)
- [百分比计算器](https://youcalc.com/zh/math/percentage/)

## Sources

- https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htm
- https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review
- https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

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Interactive version: https://youcalc.com/zh/math/z-score-normal-distribution/ · From YouCalc — https://youcalc.com