# 三角形求解器——正弦定理与余弦定理（SSS、SAS）

> 用正弦定理和余弦定理由边或角求解任意三角形，得出全部六个要素、面积、周长、外接圆与内切圆半径，并附比例示意图。免费在线。

- **Category:** 数学
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/triangle-solver/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

只要给出恰好三个已知要素——边和角的任意组合（SSS、SAS、ASA、AAS，或存在歧义的 SSA 情形），本计算器即可解出任意三角形。输入你已知的条件，工具会补全全部六个要素，并给出面积、周长、外接圆半径和内切圆半径。

## How to read your result

输入三个已知值后，结果卡片会出现在右侧。它会显示按比例绘制的三角形，顶点标注为 A、B、C，随后是一份数据清单：三条边、以度为单位的三个角、面积、周长、外接圆半径和内切圆半径。如果 SSA 输入存在歧义并产生两个有效三角形，则两者会分别显示为独立卡片。

## Method

对于 SSS，用余弦定理求角：A = arccos((b^2 + c^2 - a^2) / 2bc)，第三个角通过相减求得。对于 SAS，用 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C 求出未知边，角度再由余弦定理得出。对于 ASA/AAS，第三个角等于 180 度减去两个已知角之和，然后用正弦定理比例 a/sin A = b/sin B = c/sin C 求出各边。SSA 情形先用正弦定理求出第二条已知边对角的候选角，再检验第三个角是否为正。面积采用海伦公式：sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中 s 为半周长。外接圆半径 = abc / (4 * 面积)；内切圆半径 = 面积 / s。

## Example

- **Setup:** 输入一个直角三角形的三条边：a = 3，b = 4，c = 5。
- **Result:** 求解器返回角 A 约为 36.87 度，角 B 约为 53.13 度，角 C 恰好为 90 度。面积 = 6，周长 = 12，外接圆半径 = 2.5，内切圆半径 = 1。

## Frequently asked questions

### SSA 歧义情形是什么？

当你已知两条边以及其中一条边的对角（SSA）时，给定数据可能对应零个、一个或两个不同的三角形。计算器会检查所有可能并返回每一个有效解，因此你能立即看出该题是否存在歧义。

### 角度需要用度还是弧度输入？

所有角度均以度为单位输入和显示。底层的正弦定理与余弦定理计算会在内部自动换算为弧度，因此你无需自己进行这一换算。

### 结果有多精确？

计算器采用 JavaScript 双精度运算，可提供约 15 位有效数字。结果显示到小数点后三位，对于几何作图、工程制图或课业作业来说已绰绰有余。

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## Sources

- https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_sines
- https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines
- https://en.wikipedia.org/wiki/Solution_of_triangles

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