# 方程组求解器——2×2 与 3×3 含步骤

> 用克莱姆法则求解 2×2 和 3×3 线性方程组，给出唯一解，或判断方程组无解还是有无穷多解，并配以图像，过程清晰，免费在线。

- **Category:** 数学
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/system-of-equations/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

这款计算器求解 2×2 或 3×3 线性方程组，并告诉你它是有唯一解、无解，还是有无穷多解。可用它检查作业、验证手算的方程组，或探究改变某个系数会如何移动直线或平面的交点。

## How to read your result

结果卡片显示精确解（x、y，以及可选的 z），或显示方程组的分类——唯一解、无解或无穷多解。卡片下方的逐步解析展示系数矩阵的行列式，以及如何用克莱姆法则求出每个变量。对于 2×2 方程组，坐标平面图会绘出两条直线，让你一眼看到它们的交点。

## Method

求解器从输入的各行中提取 n × n 系数矩阵 A 和常数向量 b。它通过代数余子式展开计算 det(A)（克莱姆法则的分子通过依次用 b 替换 A 的每一列求得）。方程组的分类通过用带部分主元选取的高斯消元法比较 A 的秩与增广矩阵 [A|b] 的秩来确定：rank(A) = rank([A|b]) = n 表示唯一解，rank(A) = rank([A|b]) < n 表示无穷多解，rank(A) < rank([A|b]) 表示无解。来源：Wikipedia——Cramer’s rule；MIT OpenCourseWare 18.06——Linear Algebra；Khan Academy——Solving systems by elimination。

## Example

- **Setup:** 输入 2×2 方程组：方程 1 为 x + y = 5，方程 2 为 x - y = 1（系数为 1, 1, 5 和 1, -1, 1）。
- **Result:** 系数矩阵的行列式为 -2。由克莱姆法则得 x = -6 / -2 = 3，y = -4 / -2 = 2，因此唯一解为 x = 3，y = 2。图形显示这两条直线相交于 (3, 2)。

## Frequently asked questions

### 行列式为零意味着什么？

行列式为零意味着这些方程并不互相独立。此时计算器会检查增广矩阵：若其秩与系数矩阵的秩相同，则直线（或平面）重合，存在无穷多解；若两个秩不同，则方程组不相容，无解。

### 什么是克莱姆法则，它在何时适用？

克莱姆法则把每个变量表示为两个行列式之比——分子是用常数项替换系数矩阵中该变量所在列后所得行列式，分母是系数矩阵的行列式。它仅在行列式不为零时适用，即方程组恰有一个解时。

### 我能求解系数为小数或分数的方程组吗？

可以。每个系数单元格都接受任意有限小数。求解器采用浮点运算，并对接近零的主元设有较小的容差，因此对于常见的作业题和良态的工程方程组，结果都是准确的。

## Related calculators

- [矩阵计算器](https://youcalc.com/zh/math/matrix-operations/)
- [一元二次方程求解器](https://youcalc.com/zh/math/quadratic-equation/)
- [斜率与直线方程计算器](https://youcalc.com/zh/math/slope-line-equation/)

## Sources

- https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule
- https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/
- https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:systems-of-equations/x2f8bb11595b61c86:solving-systems-elimination/a/elimination-method-review

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