# 标准差计算器 — 含均值、方差计算步骤

> 从一组数据计算标准差、均值、中位数、众数、方差、四分位数、IQR 及异常值，并附直方图与 ±σ 区间，免费即时。

- **Category:** 数学
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/statistics-standard-deviation/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

此计算器可分析任意一组数字，并返回完整的摘要：平均数、中位数、众数、极差、总体标准差和样本标准差、方差、四分位数、四分位距（IQR）以及离群值。无论是学校作业、科学研究还是质量控制检查，凡是需要了解一组数据有多分散时，都可以使用它。

## How to read your result

标题处的数字是标准差——可以是总体标准差（σ，除以 n）或样本标准差（s，除以 n−1），通过开关切换。下方一眼即可看到方差、中位数和极差。完整的统计表列出每一项度量，包括 Q1、Q3、IQR 以及任何被标记的离群值。直方图绘制每个区间的频数，并在平均数周围给 ±1σ 区间着色，用一条虚线标出平均数本身。

## Method

平均数是算术平均值（总和 ÷ 个数）。方差是各数值相对平均数的离差平方的平均：总体除以 n，样本除以 n−1。标准差是方差的平方根。中位数是排序后列表的中间值；个数为偶数时取两个中间值的平均。四分位数采用「两半中位数」法，对奇数长度的列表会排除中位数本身。离群值依据应用于所得围栏的 1.5 · IQR 规则进行标记。来源：NIST/SEMATECH e-Handbook 和可汗学院（Khan Academy）（见参考资料）。

## Example

- **Setup:** 输入经典数据集 2、4、4、4、5、5、7、9（大多数统计学教科书中使用的八个数值），并选择总体模式。
- **Result:** 平均数为 5，总体标准差恰好为 2，方差为 4。切换到样本模式后，s ≈ 2.1381，方差 ≈ 4.5714，因为分母变成了 n−1 = 7。

## Frequently asked questions

### 总体标准差和样本标准差有什么区别？

总体标准差（σ）是把离差平方和除以 n，即数据总个数。样本标准差（s）则除以 n−1——这一修正称为贝塞尔修正（Bessel's correction）——用于消除当你从更大群体的子集中进行估计时出现的轻微向下偏差。当你的列表就是整个群体时，使用总体模式；当它是从更大总体中抽取的子集时，使用样本模式。

### 离群值是如何识别的？

计算器采用四分位距（IQR）围栏规则：任何低于 Q1 − 1.5 · IQR 或高于 Q3 + 1.5 · IQR 的数值都会被标记为潜在离群值。该方法对大致对称的分布效果良好；高度偏斜的数据可能需要采用其他方法。

### 标准差越大说明什么？

标准差大说明数值在平均数周围分布得很分散；标准差小则说明它们紧密聚集。两个平均数相同的数据集在实际中可能表现得非常不同——标准差较大的那个具有更高的变异性，在许多领域中也意味着更大的风险。

## Related calculators

- [Z分数与正态分布计算器——概率与百分位](https://youcalc.com/zh/math/z-score-normal-distribution/)
- [百分比计算器](https://youcalc.com/zh/math/percentage/)
- [排列组合计算器](https://youcalc.com/zh/math/permutations-combinations/)

## Sources

- https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda356.htm
- https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/variance-standard-deviation-population/a/calculating-standard-deviation-step-by-step

---

Interactive version: https://youcalc.com/zh/math/statistics-standard-deviation/ · From YouCalc — https://youcalc.com