# 一元二次方程求解器 — 求根、判别式与抛物线图

> 一元二次方程计算器，附详细步骤：求实根或复根、判别式、顶点、对称轴并绘制抛物线。免费求解 ax²+bx+c=0。

- **Category:** 数学
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/quadratic-equation/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

本计算器可求解任意形如 ax²+bx+c=0 的一元二次方程，通过求根公式得出实数根或复数根。输入三个系数，即可立即看到方程的根、判别式、顶点、对称轴以及绘制好的抛物线。

## How to read your result

结果卡片在最上方显示方程的根——可能是两个不同的实数值、一个重根，或一对共轭复数。根的下方依次给出判别式（用于判断根的类型）、顶点坐标、对称轴和 y 轴截距。一张小型抛物线图绘出曲线，用实心点标出与 x 轴的实数交点，用空心圆标出顶点。下方的逐步推导展示了求根公式的每一个步骤。

## Method

方程的根通过求根公式 x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) 求得，该公式见于 OpenStax 与 Khan Academy。首先计算判别式 D = b²−4ac，其符号决定平方根是实数还是虚数。顶点为 (−b/2a, f(−b/2a))，对称轴为 x = −b/2a。y 轴截距恒为 c，而与 x 轴的实数交点仅在 D ≥ 0 时给出。

## Example

- **Setup:** 输入 a = 1，b = −5，c = 6（求解 x² − 5x + 6 = 0）。
- **Result:** 判别式为 1（正值），因此有两个不同的实数根：x₁ = 3 和 x₂ = 2。顶点位于 (2.5, −0.25)，对称轴为 x = 2.5。抛物线在这两个根处与 x 轴相交。

## Frequently asked questions

### 判别式能告诉我什么？

判别式 D = b²−4ac 决定方程有多少个实数根。当 D 为正时，抛物线与 x 轴相交于两点；当 D 等于零时，它在一个重根处与 x 轴相切；当 D 为负时，根为复数，抛物线永不与 x 轴相交。

### 什么是复数根，它们何时出现？

当判别式为负时会出现复数根。它们以 p ± qi 的共轭对形式成对出现，其中 i 为虚数单位。虽然它们在实平面上不表现为 x 轴交点，但仍是方程的有效解。

### 当 a 不等于 1 时也能用吗？

可以。为 a 输入任意非零值即可。计算器使用完整的求根公式 x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)，因此 2、−3 或 0.5 这样的系数都同样适用。

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## Sources

- https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/2-5-quadratic-equations
- https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_formula
- https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article

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