# 勾股定理计算器——求解直角三角形

> 用 a²+b²=c² 求解直角三角形。求斜边或缺失的直角边，同时给出周长、面积及勾股数组判断。

- **Category:** 数学
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/pythagorean-theorem-calculator/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

勾股定理将直角三角形的三条边联系在一起：斜边（最长边，与直角相对）的平方等于两条直角边的平方和，写作 a² + b² = c²。此计算器可双向求解：给出两条直角边即可得到斜边；给出斜边和一条直角边即可求出缺失的直角边。除未知边外，还输出周长、面积以及三边是否构成勾股数组。所有边均采用您选择的长度单位——毫米、厘米、米、英寸或英尺。

## How to read your result

大数字即为您所求的边：从两条直角边出发时为斜边，从斜边出发时为缺失的直角边。下方显示三边数值、周长（a + b + c）和面积（½ × a × b，两直角边即底和高）。简短结论告知三边是否构成勾股数组——三个整数如 3-4-5 或 5-12-13。“同一三角形的其他单位换算”面板以其余所有长度单位重新给出斜边和面积。

## Method

对于直角边为 a 和 b、斜边为 c 的直角三角形：a² + b² = c²。由两条直角边求斜边：c = √(a² + b²)。由斜边和一条直角边求缺失直角边：直角边 = √(c² − 另一直角边²)；这要求 c 严格大于已知直角边，因为斜边始终是最长的边——若不满足，输入不构成真实直角三角形，计算器会提示修正。周长 = a + b + c，面积 = ½ × a × b。当三边均为满足定理的整数时，即构成勾股数组。

## Example

- **Setup:** 两条直角边分别为 3 cm 和 4 cm，求斜边。
- **Result:** 斜边 = √(3² + 4²) = √25 = 5 cm。周长为 12 cm，面积为 ½ × 3 × 4 = 6 cm²。三边（3、4、5）均为整数，因此这是一组勾股数组。

## Frequently asked questions

### 如何由两条直角边求斜边？

将每条直角边平方，求和，再开平方根：c = √(a² + b²)。直角边为 3 和 4 时，结果为 √(9 + 16) = √25 = 5。输入两条直角边，计算器即刻以您选定的单位返回斜边。

### 只知道斜边和一条直角边，能求出缺失的直角边吗？

可以。切换到“直角边”，输入斜边和已知直角边，计算器按 √(c² − 直角边²) 计算另一条直角边。例如，斜边 5、直角边 3，得 √(25 − 9) = √16 = 4。斜边必须大于已知直角边，否则三边不能构成直角三角形。

### 什么是勾股数组？

勾股数组是满足 a² + b² = c² 的三个整数 a、b、c，例如 3-4-5、5-12-13 和 8-15-17。计算器会标注您的三边是否构成勾股数组。斜边为 √2（两直角边均为 1）的直角三角形完全合法，但不是勾股数组，因为 √2 不是整数。

### 选择的单位会影响结果吗？

不会。定理与单位无关，因此 3-4-5 三角形无论边长单位是厘米、英寸还是米，都是同一个三角形。单位只是附带在结果中，并按精确的国际定义（1 英寸 = 2.54 cm，1 英尺 = 0.3048 m）进行换算，面积则按该系数的平方换算。

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## Sources

- https://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem

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