# 质因数分解计算器 — 因数树、最大公约数与最小公倍数

> 质因数分解计算器：用交互式因数树和指数形式分解质因数，并求两个数的最大公约数（GCF）和最小公倍数（LCM）。免费在线，结果即时，无需注册。

- **Category:** 数学
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/prime-factorization/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

本计算器可将任意整数分解为它的质因数，展示直观的因数树；当你输入第二个数时，还会计算两数的最大公因数（GCF）和最小公倍数（LCM）。可用它来约分、求通分的分母，或探究数字的内在结构。

## How to read your result

主要结果以指数形式给出质因数分解（例如 360 = 2³ × 3² × 5）。因数树中的彩色圆圈代表质因数，空心圆圈则是正在被拆分的合数节点。只有在你输入第二个数后，因数树下方才会列出 GCF 和 LCM。

## Method

分解采用试除法：先反复除以 2，再从 3 开始依次除以奇数，一直试到该数的平方根为止。每找到一个除数即为一个质因数，其指数表示它能整除该数多少次。随后用欧几里得算法计算 GCF（反复用较小数去除较大数，并以余数替换较大数），再由 GCF × (a / GCF) × b 求出 LCM，以避免大数运算时发生溢出。

## Example

- **Setup:** 将第一个数输入 360，第二个数输入 48。
- **Result:** 360 = 2³ × 3² × 5，48 = 2⁴ × 3。两数共有三个 2 和一个 3，因此 GCF 为 24。LCM 为 720，即能同时被两数整除的最小数。

## Frequently asked questions

### 什么是质因数分解？

质因数分解就是把一个数写成若干质数（只能被 1 和自身整除的数）相乘的过程。算术基本定理保证：每个大于 1 的整数都恰好有一种这样的分解方式（不计因数的排列顺序）。

### 如何从质因数求出 GCF 和 LCM？

GCF 的求法是：把同时出现在两个分解式中的每个质数，取较小的指数相乘。LCM 的求法是：把出现在任一分解式中的每个质数，取较大的指数相乘。对于 360 = 2³ × 3² × 5 和 48 = 2⁴ × 3，GCF = 2³ × 3 = 24，LCM = 2⁴ × 3² × 5 = 720。

### 如果我的数字被标记为质数，意味着什么？

质数无法再被进一步分解，它唯一的质因数就是它自己。质数没有因数树，它们是构成所有其他整数的「原子」。

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## Sources

- https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fundamental_theorem_of_arithmetic
- https://www.khanacademy.org/math/cc-fourth-grade-math/imp-factors-multiples-and-patterns/imp-prime-and-composite-numbers/a/prime-factorization-review
- https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm

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