# 矩阵计算器 — 行列式、逆矩阵与矩阵乘法

> 矩阵运算计算器：对 3×3 以内的矩阵进行加法、减法、数乘、乘法、转置，并求行列式与逆矩阵，附数值热力图。免费在线工具。

- **Category:** 数学
- **Interactive calculator:** https://youcalc.com/zh/math/matrix-operations/
- **Price:** Free, no sign-up required

## Overview

这个计算器可对最大 3×3 的矩阵执行最常用的矩阵运算：加法、减法、标量乘法、矩阵乘法、转置、行列式和逆矩阵。输入矩阵的各项数值，选择一种运算，结果会立即显示，并配有一张幅值热力图，突出每个元素的相对大小。

## How to read your result

对于行列式之类的标量运算，那个醒目的数字就是结果。对于矩阵运算，结果卡片会标明所执行的运算，下方的热力图网格则显示输出矩阵——每个单元格的着色深浅取决于其绝对值相对于最大元素的大小，因此你能一眼看出占主导地位的元素。页面顶部的状态条会确认当前的运算以及输出是标量还是完整矩阵。

## Method

加法和减法对相应位置的元素进行相加或相减。标量乘法把每个元素都乘以常数 k。矩阵乘法遵循点积规则：结果中的元素 (i, j) 是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的点积。转置把矩阵沿主对角线翻转，互换行与列。行列式通过沿第一行的代数余子式展开来计算（MIT OpenCourseWare 18.06）。逆矩阵用伴随矩阵除以行列式求得（Wikipedia: Invertible matrix）；行列式为 0 的奇异矩阵没有逆矩阵。

## Example

- **Setup:** 将两个矩阵都设为 2×2，选择「乘法」，并使用 A = [[1, 2], [3, 4]] 与 B = [[5, 6], [7, 8]]。
- **Result:** 乘积 A × B 为 [[19, 22], [43, 50]]。元素 (1,1) = 1×5 + 2×7 = 19；元素 (1,2) = 1×6 + 2×8 = 22；以此类推——热力图把 50 显示为颜色最深的单元格，因为它是结果中最大的数值。

## Frequently asked questions

### 矩阵乘法在什么情况下有定义？

只有当 A 的列数等于 B 的行数时，矩阵乘法 A × B 才有定义。对于两个同样大小的方阵，这个条件总能满足，但要注意 A × B 与 B × A 通常给出不同的结果——矩阵乘法不满足交换律。

### 行列式告诉你什么？

行列式是用一个数来概括一个方阵的特征。非零行列式意味着该矩阵有唯一的逆矩阵，对应的方程组恰有一个解。行列式为零则意味着该矩阵是奇异的——它的各行线性相关，逆矩阵不存在。

### 逆矩阵是如何计算的？

计算器使用伴随矩阵（古典伴随）方法：先构造代数余子式矩阵，再将其转置得到伴随矩阵，然后把每个元素都除以行列式。对于 2×2 的情形 [[a,b],[c,d]]，结果为 [[d,−b],[−c,a]] 除以 (ad − bc)。如果行列式为零，则会显示错误提示而非结果。

## Related calculators

- [方程组求解器——2×2 与 3×3 含步骤](https://youcalc.com/zh/math/system-of-equations/)
- [一元二次方程求解器](https://youcalc.com/zh/math/quadratic-equation/)
- [斜率与直线方程计算器](https://youcalc.com/zh/math/slope-line-equation/)
- [三角形求解器——正弦定理与余弦定理（SSS、SAS）](https://youcalc.com/zh/math/triangle-solver/)

## Sources

- https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/
- https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
- https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix

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